a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình cua ΔBAC

b: EF là đường trung bình của ΔBAC

=>EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)

c: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

O là trung điêm của AC

=>\(AO=\frac{AC}{2}=EF\)

d: Xét tứ giác AEMC có
AE//MC

AC//ME

Do đó: AEMC là hình bình hành

CM=1/3CD=1/3*2AB=2/3AB

Xét ΔNMC và ΔNBA có

góc NMC=góc NBA

góc MNC=góc BNA

=>ΔNMC đồng dạng với ΔNBA

=>NC/NA=MC/BA=2/3

=>CN/CA=2/5

Xét ΔOCD và ΔOAB có

góc OCD=góc OAB

góc COD=góc AOB

=>ΔOCD đồng dạng với ΔOAB

=>OC/OA=CD/AB=2

=>CO/CA=2/3

=>CO=2/3CA

mà CN=2/5CA

nên CO/CN=2/3:2/5=5/3

=>CN=3/5CO

=>ON/OC=2/5

OC/OA=2

=>S DOC=2*S DOA=2*S COB và S OCD/S OAB=(CD/AB)^2=4

=>S DOA=1/2*S DOC; S COB=1/2*S DOC; S OAB=1/4*S DOC

S DOA+S COB+S OAB+S DOC=45

=>S DOC(1/2+1/2+1/4+1)=45

=>S DOC=20

=>S DON=2/5*20=8cm²

Câu 3:Sửa đề: cắt AC,AB lần lượt tại F và E

a;Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AF//DE

Do đó: AEDF là hình bình hành

Hình bình hành AEDF có \(\hat{EAF}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

=>A đối xứng C qua F

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trungbình của ΔABC

=>EF=BC/2=5(cm)

E là trung điểm của AB

=>AE=AB/2=6/2=3(cm)

F là trung điểm của AC
=>AF=AC/2=4(cm)

AEDF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEDF}=AE\cdot AF=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Câu 2:

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

Xét ΔDNC có

I là trung điểm của DC

IM//NC

Do đó; M là trung điểm của DN

=>DM=MN(1)

Xét ΔBAM có

K là trung điểm của BA

KN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM(2)

Từ (1),(2) suy ra DM=MN=NB

c: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,KI đồng quy

Đáp án: Giải thích các bước giải a) Hình bình hành ABCD gọi OO là giao điểm của AC và BD ⇒O⇒O là trung điểm của AC, BD (tính chất ) Xét hai tam giác vuông ΔOEBΔOEB và OFDOFD có: OB=ODOB=OD ˆBOE=ˆDOFBOE^=DOF^ (đối đỉnh) ⇒ΔOEB=ΔOFD⇒ΔOEB=ΔOFD (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒BE=DF⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng) Và có BE//DFBE//DF (vì cùng vuông góc với AC giả thiết) Từ hai điều trên ⇒⇒ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Xét ΔHBCΔHBC và ΔKDCΔKDC có: ˆBHC=ˆDKC=90oBHC^=DKC^=90o (giả thiết) ˆHBC=ˆKDCHBC^=KDC^ (=ˆBAD=BAD^ đồng vị) ⇒ΔHBC∼ΔKDC⇒ΔHBC∼ΔKDC (g.g) ⇒CHCK=CBCD⇒CHCK=CBCD (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒CH.CD=CK.CB⇒CH.CD=CK.CB (đpcm) c) Xét ΔAEBΔAEB và ΔAHCΔAHC có: ˆAA^ chung ˆAEB=ˆAHC=90oAEB^=AHC^=90o ⇒ΔAEB∼ΔAHC⇒ΔAEB∼ΔAHC (g.g) ⇒AEAH=ABAC⇒AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒AE.AC=AB.AH⇒AE.AC=AB.AH (1) Xét ΔAFDΔAFD và ΔAKCΔAKC có: ˆAA^ chung ˆAFD=ˆAKC=90oAFD^=AKC^=90o ⇒ΔAFD=ΔAKC⇒ΔAFD=ΔAKC (g.g) ⇒AFAK=ADAC⇒AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) ⇒AF.AC=AK.AD⇒AF.AC=AK.AD (2) Ta có OE=OF (suy ra từ ΔOEB=ΔOFDΔOEB=ΔOFD câu a) OA=OC (tính chất hình bình hành) ⇒OA−OE=OC−OF⇒OA−OE=OC−OF hay AE=FCAE=FC (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.ACAB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC =AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2 (đpcm)

viết code hả bạn??? đọc lòi mắt

Sửa đề: Chứng minh AK=KI=IC

a: Xét tứ giác BEDF có

DE//BF

DE=BF\(\left(DE=\dfrac{1}{2}AD;BF=\dfrac{1}{2}BC;AD=BC\right)\)

Do đó: BEDF là hình bình hành

b: BEDF là hình bình hành

=>BE//DF

Xét ΔAID có

E là trung điểm của AD

EK//ID

Do đó: K là trung điểm của AI

=>AK=KI

Xét ΔBKC có

F là trung điểm của CB

FI//BK

Do đó: I là trung điểm của KC

=>KI=IC

=>AK=KI=IC

A B C D O M N P Q

a/

Ta có

MN//AB (gt)

AD//BC=> AM//BN

=> AMNB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có

AB//CD => AP//CQ mà AP = CQ (gt) => APCQ là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

b/

Xét hbh ABCD 

OA=OC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét hbh APCQ có

IA=IC  (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> \(I\equiv O\) (đều là trung điểm AC) => M; N; I thẳng hàng

c/ Do \(I\equiv O\) (cmt) => AC; MN; PQ đồng quy tại O

Chứng minh được AKCI là hình bình hành Þ ĐPCM

Xét ΔADC có 

O là trung điểm của AC

E là trung điểm của AD

Do đó: OE là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: OE//DF và OE=DF

hay OEDF là hình bình hành