a: Ta có: \(\hat{KAC}+\hat{KAB}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{KAB}+\hat{HBA}=90^0\) (ΔHAB vuông tại H)
DO đó; \(\hat{KAC}=\hat{HBA}\)

Xét ΔKAC vuông tại K và ΔHBA vuông tại H có

AC=BA

\(\hat{KAC}=\hat{HBA}\)

Do đó: ΔKAC=ΔHBA

=>BH=AK

b: ΔACB vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAM}=\hat{CAM}=45^0\)

Ta có: \(\hat{MBH}+\hat{HBA}=\hat{MBA}=45^0\)

\(\hat{MAK}+\hat{CAK}=\hat{MAC}=45^0\)

mà \(\hat{HBA}=\hat{CAK}\)

nên \(\hat{MBH}=\hat{MAK}\)

Xét ΔMBH và ΔMAK có

MB=MA

\(\hat{MBH}=\hat{MAK}\)

BH=AK

Do đó: ΔMBH=ΔMAK

c: ΔMBH=ΔMAK

=>MH=MK

Xét ΔEMA vuông tại M và ΔEHB vuông tại H có

\(\hat{MEA}\) chung

Do đó: ΔEMA~ΔEHB

=>\(\frac{EM}{EH}=\frac{EA}{EB}\)

=>\(\frac{EM}{EA}=\frac{EH}{EB}\)

Xét ΔEMH và ΔEAB có

\(\frac{EM}{EA}=\frac{EH}{EB}\)

góc MEH chung

Do đó: ΔEMH~ΔEAB

=>\(\hat{EHM}=\hat{EBA}=45^0\)

Xét ΔMHK có MH=MK và \(\hat{MHK}=45^0\)

nên ΔMHK vuông cân tại M

a) Ta có ^ABH + ^BAH = 90° Măt khác ^CAH + ^BAH = 90°
=> ^ABH = ^CAH
Xét ▲ABH và ▲CAK có:
góc H = góc C (= 90°)
AB = AC (T.g ABC vuông cân)
góc ABH = góc CAH (cmt)
=> △ABH = △CAK (c.h-g.n)
=> BH = AK
b) Ta có BH//CK (Cùng ┴ AK)
=>góc HBM = góc MCK (So Le Ttrong)(1)
Mặt khác góc MAE + góc AEM = 90°(2)
Và góc MCK + góc CEK = 90°(3)
Và  góc AEM = góc CEK (4)
Từ 2,3,4 => góc MAE = góc ECK (5)
Từ 1,5 => góc HBM = góc MAE
Ta lại có AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM =MC = 1/2 BC
Xét tam giác MBH và tam giác MAK có:
MB = AM (cmt)

góc HBM = góc MAK(cmt) 

BH = AK (cmt)
=> △MBH = △MAK (c.g.c)
c) Theo câu a, b ta có: AH = CK; MH = MK; AM = MC nên tam giác AMH = tam giác  CMK (c.c.c)
=> góc AMH = góc CMK; mà góc AMH + góc HMC = 90 độ
=> góc CMK + góc HMC = 90° hay góc HMK = 90°
Tam giác HMK có MK = MH và góc HMK = 90° nên vuông cân tại M (đpcm).

a, BH = AK:

Ta có: ΔABC vuông cân tại A.

=> A1ˆ=A2ˆ=90oA1^=A2^=90o (1)

Cũng có: BH ⊥ AE.

=> ΔBAH vuông tại H.

=> B1ˆ+A2ˆ=90oB1^+A2^=90o (2)

Từ (1) và (2) => A1ˆ=B1ˆA1^=B1^.

Xét ΔBAH và ΔACK có:

+ AB = AC (ΔABC cân)

+ H1ˆ=K1ˆ=90oH1^=K1^=90o (CK ⊥ AE, BH ⊥ AE)

+ A1ˆ=B1ˆ=(cmt)A1^=B1^=(cmt)

=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)

b, ΔMBH = ΔMAK:

Ta có: BH ⊥ AK; CK ⊥ AE.

=> BH // CK.

=> HBMˆ=MCKˆHBM^=MCK^ (2 góc so le trong) [1]

Mà MAEˆ+AEMˆ=90oMAE^+AEM^=90o [2]

Và MCKˆ+CEKˆ=90oMCK^+CEK^=90o [3]

AEMˆ=CEKˆAEM^=CEK^ (đối đỉnh) [4]

Từ [1], [2], [3] và [4] => MAEˆ=ECKˆMAE^=ECK^ [5]

Từ [1] và [5] => HBMˆ=MAKˆHBM^=MAK^.

Ta có: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM = MC = 1212BC.

Xét ΔMBH và ΔMAK có:

+ MA = MB (cmt)

+ HBMˆ=MAKˆHBM^=MAK^ (cmt)

+ BH = AK (câu a)

=> ΔMBH = ΔMAK (c - g - c)

c, ΔMHK vuông cân:

Xét ΔAMH và ΔCMK có:

+ AH = CK (ΔABH = ΔCAK)

+ MH = MK (ΔMBH = ΔMAK)

+ AM = CM (AM là trung tuyến)

=> ΔAMH = ΔCMK (c - c - c)

=> AMHˆ=CMKˆAMH^=CMK^ (2 góc tương ứng)

mà AMHˆ+HMCˆ=90oAMH^+HMC^=90o

=> CMKˆ+HMCˆ=90oCMKgggggggggg^+HMC^=90o

hay HMKˆ=90oHMK^=90o.

ΔHMK có MK = MH và MHKˆ=90oMHK^=90o.

=> ΔHMK vuông cân tại M.

a: Ta có: \(\hat{HAB}+\hat{HAC}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{HAC}+\hat{KCA}=90^0\) (ΔKCA vuông tại K)

Do đó: \(\hat{HAB}=\hat{KCA}\)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔKCA vuông tại K có

AB=CA

\(\hat{HAB}=\hat{KCA}\)

Do đó: ΔHAB=ΔKCA

=>HB=KA

b: Xét ΔMBH và ΔMAK có

MB=MA

\(\hat{MBH}=\hat{MAK}\left(=90^0-\hat{AEB}\right)\)

BH=AK

Do đó: ΔMBH=ΔMAK

?

Tgiac ABC vuông cân tại A => AB = AC

Xét tgiac ACK vuông tại K => góc ACK + KAC = 90 độ

Lại có KAC + BAH (BAK) = BAC = 90 độ

=> góc KCA = BAH

Xét tgiac BAH và ACK có:

+ AB = AC
+ góc AHB = AKC = 90 độ

+ góc KCA = BAH (cmt)

=> tgiac BAH = ACK (ch-gn)

=> BH = AK (đpcm)