a: Xét ΔEBK và ΔEDA có

\(\hat{EBK}=\hat{EDA}\) (hai góc so le trong, BK//DA)

\(\hat{BEK}=\hat{DEA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEBK~ΔEDA

=>\(\frac{EB}{ED}=\frac{EK}{EA}\) (1)

Xét ΔEBA và ΔEDG có

\(\hat{EBA}=\hat{EDG}\) (hai góc so le trong, AB//DG)

\(\hat{BEA}=\hat{DEG}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEBA~ΔEDG

=>\(\frac{EB}{ED}=\frac{EA}{EG}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EK}{EA}=\frac{EA}{EG}\)

=>\(EK\cdot EG=EA^2\)

ABCD là hbh

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOAM và ΔOCP có

góc OAM=góc OCP

OA=OC

góc AOM=góc COP

=>ΔOAM=ΔOCP

=>OM=OP

=>O là trung điểm của MP

Xét ΔOQD và ΔONB có

góc ODQ=góc OBN

OD=OB

góc QOD=góc NOB

=>ΔOQD=ΔONB

=>OQ=ON

=>O là trung điểm của QN

Xét tứ giác MNPQ có

O là trung điểm chung của MP và NQ

=>MNPQ là hbh

a) vì tứ giác ABCD là hình bình hành 

=> AB // CD

=>AB // DG

=> \(\frac{EB}{ED}\)= \(\frac{AE}{EG}\)                (1)

vì ABCD là hình bình hành

=> AD // BC

=> AD // BK

=>\(\frac{AE}{EG}\)= \(\frac{EK}{AE}\)                  (2)

TỪ  (1) VÀ (2) => \(\frac{AE}{EG}\)= \(\frac{EK}{AE}\)

=> AE² = EK . EG              (đpcm)

b) vì AB // DG => \(\frac{AE}{AG}\)= \(\frac{BE}{BD}\)

MÀ AD // BK => \(\frac{AE}{AK}\)= \(\frac{DE}{BD}\)

CỘNG 2 VẾ TRÊN

=> \(\frac{AE}{AG}\)+ \(\frac{AE}{AK}\) = \(\frac{BE}{BD}+\frac{DE}{BD}=1\)

<=> AE ( \(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}\)) = 1

<=> \(\frac{1}{AG}+\frac{1}{AK}\)= \(\frac{1}{AE}\)      (đpcm)

c) vì AD // BK => \(\frac{BK}{AD}=\frac{EB}{DE}\)

CÓ AB // DG => \(\frac{AB}{DG}=\frac{BE}{DE}\)

=> \(\frac{BK}{AD}=\frac{AB}{DG}\)

=> BD . DG = AB . AD

mà AB, AD là các cạnh của hình bình hành ABCD => AB . AD không đổi

=> BK . DG không đổi (đpcm)

kb với miinhf ko

a) Ta thấy \(\dfrac{EA}{EK}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EG}{EA}\) nên \(AE^2=EK.EG\) (đpcm)

b) Ta có \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{DB}+\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{DE+BE}{BD}=1\) nên suy ra \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)

1: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AKBO có

AK//BO

BK//AO

Do đó: AKBO là hình bình hành

=>AK//BO và AK=BO

AK//BO

=>AK//OD

AK=BO

BO=OD

Do đó: AK=OD

Xét tứ giác AKOD có

AK//OD

AK=OD

Do đó: AKOD là hình bình hành

2:

a: Hình bình hành AKBO trở thành hình chữ nhật khi \(\hat{AOB}=90^0\)

=>AC⊥BD tại O

Hình bình hành ABCD có AC⊥BD

nên ABCD là hình thoi

b: Hình bình hành AKBO trở thành hình thoi khi OA=OB

=>2OA=2OB

=>AC=BD

Hình bình hành ABCD có AC=BD

nên ABCD là hình chữ nhật

c: Hình bình hành AKBO trở thành hình vuông khi OA=OB và OA⊥ OB

=>AC=BD và AC⊥BD

=>ABCD là hình vuông

Mk ms nghĩ được phần a thôi, phần b để tí nghĩ tiếp :v

(Hình tự vẽ)

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

\(\Rightarrow\) AD//BC (t/c hbh)

Mà M \(\in\) BC (d cắt BC tại M)

\(\Rightarrow\) AD//MB

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAN}=\widehat{AMB}\) (2 góc slt, N \(\in\) AM)

Vì ABCD là hbh (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}=\widehat{D}\) (t/c hbh)

Xét tam giác ADN và tam giác MBA có:

\(\widehat{D}=\widehat{B}\) (cmt)

\(\widehat{DAN}=\widehat{BMA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ADN \(\sim\) \(\Delta\)MBA (gg)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AD}{BM}=\dfrac{DN}{AB}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\) BM.DN = AB.AD

Mà AB, AD là các cạnh của hbh (gt)

\(\Rightarrow\) AB, AD không đổi

\(\Rightarrow\) AB.AD không đổi

\(\Rightarrow\) MB.DN không đổi (đpcm)

Chúc bn học tốt!

Giúp em với :((