a: Xét tứ giác AEBM có

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của EM

Do đó: AEBM là hình bình hành

mà MA=MB

nên AEBM là hình thoi

D đối xứng H qua AB

=>AD=AH và BD=BH

H đối xứng E qua AC

=>AH=AE và CH=CE

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\hat{HAB}=\hat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

CH=CE

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\hat{HAC}=\hat{EAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

ΔADB=ΔAHB

=>\(\hat{ADB}=\hat{AHB}\)

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

=>BD⊥ DE tại D

ΔAHC=ΔAEC

=>\(\hat{AHC}=\hat{AEC}\)

=>\(\hat{AEC}=90^0\)

=>CE⊥ED tại E

=>BD//CE
=>BDEC là hình thang

Diện tích hình thang BDEC là:

\(S_{BDEC}=\frac12\cdot\left(BD+EC\right)\cdot DE\)

\(=\frac12\left(BH+HC\right)\cdot2\cdot AH=AH\cdot BC=2\cdot S_{ABC}\)

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2=50/2=25(cm)

ΔAHM vuông tại H

=>AH<=AM

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\le\frac12\cdot AM\cdot BC=\frac12\cdot25\cdot50=625\)

Để \(S_{BDEC}\) lớn nhất thì \(S_{ABC}\) lớn nhất

mà \(S_{ABC}\le625\)

nên \(S_{BDEC}\le625\cdot2=1250\)

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>HD//AE và HD=AE

Ta có: HD//AE

D\(\in\)HF

Do đó: DF//AE

Ta có; HD=AE

HD=DF

Do đó: AE=DF

Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AE=DF

Do đó: AEDF là hình bình hành

c: Ta có: AEDF là hình bình hành

=>AF//DE

mà A\(\in\)KF

nên KA//ED

Ta có: EH//AD

E\(\in\)KH

Do đó: KE//AD

Xét tứ giác ADEK có

AD//EK

AK//DE

Do đó: ADEK là hình bình hành

=>AK=DE

mà DE=AF(AEDF là hình bình hành)

nên AF=AK

mà K,A,F thẳng hàng

nên A là trung điểm của KF

d: Xét tứ giác DHME có

DH//ME

DE//MH

Do đó: DHME là hình bình hành

=>DH=EM

mà DH=EA

nên EM=EA

=>E là trung điểm của AM

Xét tứ giác AHMK có

E là trung điểm chung của AM và HK

=>AHMK là hình bình hành

Hình bình hành AHMK có AM\(\perp\)HK

nên AHMK là hình thoi