a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

mà AB<AC

nên DB<DC

=>\(DC>\frac{DB+DC}{2}=\frac{BC}{2}\)

=>CD>CM

=>M nằm giữa C và D

ΔAHC vuông tại H

=>\(\hat{HAC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{HAC}=90^0-\hat{ACB}=\frac12\left(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}\right)-\hat{ACB}=\frac12\cdot\left(\hat{ABC}+\hat{BAC}-\hat{ACB}\right)\)

AB<AC

=>\(\hat{C}<\hat{B}\)

=>\(\hat{B}-\hat{C}>90^0\)

=>\(\hat{HAC}=\frac12\left(\hat{BAC}+\hat{ABC}-\hat{ACB}\right)>\frac12\cdot\hat{BAC}=\hat{DAC}=\hat{DAB}\)

\(\hat{CAH}>\hat{CAD}\)

=>tia AD nằm giữa hai tia AC và AH

=>D nằm giữa C và H

mà M nằm giữa C và D

nên D nằm giữa H và M

b: BC=BH+CH=9+16=25(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=BC/2=12,5(cm)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC=9\cdot16=144=12^2\)

=>HA=12(cm)

ΔAHM vuông tại H

=>\(AH^2+HM^2=AM^2\)

=>\(HM^2=12,5^2-12^2=\left(12,5-12\right)\left(12,5+12\right)=0,5\cdot24,5=12,25=3,5^2\)

=>HM=3,5(cm)

ΔAHM vuông tại H

=>\(S_{HAM}=\frac12\cdot HA\cdot HM=\frac12\cdot12\cdot3,5=6\cdot3,5=21\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot12\cdot25=150\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

góc HBA chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC=9\cdot25=225=15^2\)

=>BA=15(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=25^2-15^2=625-225=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{15}=\frac43\)

=>\(\frac{DC}{BC}=\frac47\)

=>\(S_{ADC}=\frac47\cdot S_{ABC}=\frac47\cdot150=\frac{600}{7}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

- Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

- Chứng minh:

Δ AMB và Δ AMC có: AM chung MB =MC và AC > AB
=> AMC^ > AMB^ => M thuộc CH.(M ở giữa C và H)
AB<AC => B^ > C^ => BAH^ < CAH^ => D thuộc CH.(1)
theo tính chất phân giác:
BD/AB = CD/AC
mà: AC > AB => CD > BD => D thuộc BM (2)
(1) và (2) => D thuộc HM hay D là điểm nằm giữa H và M.

ΔAHE vuông tại H nên AH<AE

=>góc AEH<90 độ

=>góc AED>90 độ

=>AE<AD

=>AH<AE<AD

- Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

- Chứng minh:

a) tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến \(\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có: \(2BH.AM=BH.2AM=BH.BC=AB^2\)

b) tam giác BAF vuông tại A có đường cao AE 

\(\Rightarrow BE.BF=BA^2=BH.BC\)

Ta có: \(AM=\dfrac{BC}{2}=BM\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M

\(\Rightarrow\angle MAB=\angle MBA\) mà \(\angle MAB=\angle BFA\Rightarrow\angle ABC=\angle BFA\) 

Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta ACB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ABC=\angle BFA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABF\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AB^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow BE.BF=BH.BC=AF.AC\)