cho tam giác ABC cả 3 góc đều nhọn các đường cao AA';BB';CC' cắt nhau tại H
cm
\(\frac{A'H}{AA'}+\frac{B'H}{BB'}+\frac{C'H}{CC'}=1\)
đề đúng rồi nè
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2022
a, Xét Δ ABD và Δ ABE, có :
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{BAE}\) (góc chung)
=> Δ ABD ∾ Δ ABE (g.g)
b, Xét Δ EHB và Δ DHC, có :
\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^o\)
=> Δ EHB ∾ Δ DHC (g.g)
=> \(\dfrac{EH}{DH}=\dfrac{HB}{HC}\)
=> \(HB.HD=HC.HE\)
15 tháng 6 2022
https://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239868952049.htmlhttps://olm.vn/hoi-dap/detail/239...
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 8
Xét ΔAB'B vuông tại B' có cos A=\(\frac{AB^{\prime}}{AB}\)
=>\(AB^{\prime}=AB\cdot cosA\)
Xét ΔB'CB vuông tại B' cos C=\(\frac{CB^{\prime}}{CB}\)
=>\(CB^{\prime}=CB\cdot cosC\)
Xét ΔABA' vuông tại A' có cos B=\(\frac{BA^{\prime}}{BA}\)
=>\(BA^{\prime}=BA\cdot cosB\)
Xét ΔCA'A vuông tại A' có cos C=\(\frac{CA^{\prime}}{CA}\)
=>\(CA^{\prime}=CA\cdot cosC\)
Xét ΔCC'B vuông tại C' có cos B=\(\frac{BC^{\prime}}{BC}\)
=>\(BC^{\prime}=BC\cdot cosB\)
Xét ΔAC'C vuông tại C' có cosA=\(\frac{AC^{\prime}}{AC}\)
=>\(AC^{\prime}=AC\cdot cosA\)
\(S_1=S_{AB^{\prime}C^{\prime}}=\frac12\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}\cdot\sin A\)
\(=\frac12\cdot AB\cdot cosA\cdot AC\cdot cosA\cdot\sin A=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\cdot cos^2A=S_{ABC}\cdot cos^2A\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Kẻ AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA⊥BD
mà CH⊥BA
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA⊥CD
mà BH⊥CA
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm M của mỗi đường
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC tại M và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BAC}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cosBAC\)
=>\(OM=R\cdot cosBAC\)
Xét ΔAHD có
O,M lần lượt là trung điểm của AD,HD
=>OM là đường trung bình của ΔAHD
=>OM//AH và OM=1/2AH
=>\(AH=2R\cdot cosBAC\)
\(\frac{S_1}{AH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2A}{4R^2\cdot cos^2A}=\frac{S_{ABC}}{4\cdot R^2}\) (3)
\(S_2=S_{BC^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot cosABC\cdot BA\cdot cosABC\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot BA\cdot\sin ABC\cdot cos^2ABC=S_{ABC}\cdot cos^2ABC\)
Kẻ BE là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBAE vuông tại A
=>EA⊥ BA
mà CH⊥BA
nên EA//CH
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>CB⊥CE
mà AH⊥BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
AE//CH
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm N của mỗi đường
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON⊥AC tại N và ON là phân giác của góc AOC
ON là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AON}=\hat{CON}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\hat{ABC}\)
Xét ΔONA vuông tại N có cosNOA=\(\frac{ON}{OA}\)
=>\(ON=R\cdot cosABC\)
Xét ΔEBH có
O,N lần lượt là trung điểm của EB,EH
=>ON là đường trung bình của ΔEBH
=>BH=2ON
=>\(BH=2\cdot R\cdot cosABC\)
\(\frac{S_2}{BH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2ABC}{4\cdot R^2\cdot cos^2ABC}=\frac{S_{ABC}}{4R^2}\) (2)
\(S_3=S_{CA^{\prime}B^{\prime}}=\frac12\cdot CA^{\prime}\cdot CB^{\prime}\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot cosACB\cdot CB\cdot cosACB\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB\cdot cos^2ACB=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Kẻ CF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔCAF nội tiếp
CF là đường kính
...
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 8
Xét ΔAB'B vuông tại B' có cos A=\(\frac{AB^{\prime}}{AB}\)
=>\(AB^{\prime}=AB\cdot cosA\)
Xét ΔB'CB vuông tại B' cos C=\(\frac{CB^{\prime}}{CB}\)
=>\(CB^{\prime}=CB\cdot cosC\)
Xét ΔABA' vuông tại A' có cos B=\(\frac{BA^{\prime}}{BA}\)
=>\(BA^{\prime}=BA\cdot cosB\)
Xét ΔCA'A vuông tại A' có cos C=\(\frac{CA^{\prime}}{CA}\)
=>\(CA^{\prime}=CA\cdot cosC\)
Xét ΔCC'B vuông tại C' có cos B=\(\frac{BC^{\prime}}{BC}\)
=>\(BC^{\prime}=BC\cdot cosB\)
Xét ΔAC'C vuông tại C' có cosA=\(\frac{AC^{\prime}}{AC}\)
=>\(AC^{\prime}=AC\cdot cosA\)
\(S_1=S_{AB^{\prime}C^{\prime}}=\frac12\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}\cdot\sin A\)
\(=\frac12\cdot AB\cdot cosA\cdot AC\cdot cosA\cdot\sin A=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\cdot cos^2A=S_{ABC}\cdot cos^2A\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Kẻ AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA⊥BD
mà CH⊥BA
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA⊥CD
mà BH⊥CA
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm M của mỗi đường
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC tại M và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BAC}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cosBAC\)
=>\(OM=R\cdot cosBAC\)
Xét ΔAHD có
O,M lần lượt là trung điểm của AD,HD
=>OM là đường trung bình của ΔAHD
=>OM//AH và OM=1/2AH
=>\(AH=2R\cdot cosBAC\)
\(\frac{S_1}{AH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2A}{4R^2\cdot cos^2A}=\frac{S_{ABC}}{4\cdot R^2}\) (3)
\(S_2=S_{BC^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot cosABC\cdot BA\cdot cosABC\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot BA\cdot\sin ABC\cdot cos^2ABC=S_{ABC}\cdot cos^2ABC\)
Kẻ BE là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBAE vuông tại A
=>EA⊥ BA
mà CH⊥BA
nên EA//CH
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>CB⊥CE
mà AH⊥BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
AE//CH
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm N của mỗi đường
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON⊥AC tại N và ON là phân giác của góc AOC
ON là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AON}=\hat{CON}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\hat{ABC}\)
Xét ΔONA vuông tại N có cosNOA=\(\frac{ON}{OA}\)
=>\(ON=R\cdot cosABC\)
Xét ΔEBH có
O,N lần lượt là trung điểm của EB,EH
=>ON là đường trung bình của ΔEBH
=>BH=2ON
=>\(BH=2\cdot R\cdot cosABC\)
\(\frac{S_2}{BH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2ABC}{4\cdot R^2\cdot cos^2ABC}=\frac{S_{ABC}}{4R^2}\) (2)
\(S_3=S_{CA^{\prime}B^{\prime}}=\frac12\cdot CA^{\prime}\cdot CB^{\prime}\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot cosACB\cdot CB\cdot cosACB\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB\cdot cos^2ACB=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Kẻ CF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔCAF nội tiếp
CF là đường kính
...
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 8
Xét ΔAB'B vuông tại B' có cos A=\(\frac{AB^{\prime}}{AB}\)
=>\(AB^{\prime}=AB\cdot cosA\)
Xét ΔB'CB vuông tại B' cos C=\(\frac{CB^{\prime}}{CB}\)
=>\(CB^{\prime}=CB\cdot cosC\)
Xét ΔABA' vuông tại A' có cos B=\(\frac{BA^{\prime}}{BA}\)
=>\(BA^{\prime}=BA\cdot cosB\)
Xét ΔCA'A vuông tại A' có cos C=\(\frac{CA^{\prime}}{CA}\)
=>\(CA^{\prime}=CA\cdot cosC\)
Xét ΔCC'B vuông tại C' có cos B=\(\frac{BC^{\prime}}{BC}\)
=>\(BC^{\prime}=BC\cdot cosB\)
Xét ΔAC'C vuông tại C' có cosA=\(\frac{AC^{\prime}}{AC}\)
=>\(AC^{\prime}=AC\cdot cosA\)
\(S_1=S_{AB^{\prime}C^{\prime}}=\frac12\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}\cdot\sin A\)
\(=\frac12\cdot AB\cdot cosA\cdot AC\cdot cosA\cdot\sin A=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\cdot cos^2A=S_{ABC}\cdot cos^2A\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Kẻ AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BA⊥BD
mà CH⊥BA
nên CH//BD
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CA⊥CD
mà BH⊥CA
nên BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm M của mỗi đường
ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM⊥BC tại M và OM là phân giác của góc BOC
OM là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOM}=\hat{COM}=\frac12\cdot\hat{BOC}=\hat{BAC}\)
Xét ΔOMB vuông tại M có cos BOM=\(\frac{OM}{OB}\)
=>\(\frac{OM}{R}=cosBAC\)
=>\(OM=R\cdot cosBAC\)
Xét ΔAHD có
O,M lần lượt là trung điểm của AD,HD
=>OM là đường trung bình của ΔAHD
=>OM//AH và OM=1/2AH
=>\(AH=2R\cdot cosBAC\)
\(\frac{S_1}{AH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2A}{4R^2\cdot cos^2A}=\frac{S_{ABC}}{4\cdot R^2}\) (3)
\(S_2=S_{BC^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot cosABC\cdot BA\cdot cosABC\cdot\sin ABC\)
\(=\frac12\cdot BC\cdot BA\cdot\sin ABC\cdot cos^2ABC=S_{ABC}\cdot cos^2ABC\)
Kẻ BE là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔBAE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBAE vuông tại A
=>EA⊥ BA
mà CH⊥BA
nên EA//CH
Xét (O) có
ΔBCE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBCE vuông tại C
=>CB⊥CE
mà AH⊥BC
nên AH//CE
Xét tứ giác AHCE có
AH//CE
AE//CH
Do đó: AHCE là hình bình hành
=>AC cắt HE tại trung điểm N của mỗi đường
ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON⊥AC tại N và ON là phân giác của góc AOC
ON là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AON}=\hat{CON}=\frac12\cdot\hat{AOC}=\hat{ABC}\)
Xét ΔONA vuông tại N có cosNOA=\(\frac{ON}{OA}\)
=>\(ON=R\cdot cosABC\)
Xét ΔEBH có
O,N lần lượt là trung điểm của EB,EH
=>ON là đường trung bình của ΔEBH
=>BH=2ON
=>\(BH=2\cdot R\cdot cosABC\)
\(\frac{S_2}{BH^2}=\frac{S_{ABC}\cdot cos^2ABC}{4\cdot R^2\cdot cos^2ABC}=\frac{S_{ABC}}{4R^2}\) (2)
\(S_3=S_{CA^{\prime}B^{\prime}}=\frac12\cdot CA^{\prime}\cdot CB^{\prime}\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot cosACB\cdot CB\cdot cosACB\cdot\sin ACB\)
\(=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin ACB\cdot cos^2ACB=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Kẻ CF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔCAF nội tiếp
CF là đường kính
...
26 tháng 2 2018
a, Có : HA'/AA' = HA'.BC/AA'.BC = S AHB + S AHC / S ABC
Tương tự : HB'/BB' = S BHA + S BHC / S ABC ; HC'/CC' = S CHA + S CHB / S ABC
=> HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC' = 2.(S AHC + S AHB + S BHC)/S ABC = 2
Tk mk nha
TH
7 tháng 4 2019
a)
'
AA
'
HA
BC
'.
AA
.
2
1
BC
'.
HA
.
2
1
S
S
ABC
HBC
; (0,5đi
ể
m)
Tương t
ự
:
'
CC
'
HC
S
S
ABC
HAB
;
'
BB
'
HB
S
S
ABC
HAC
(0,5đi
ể
m)
1
S
S
S
S
S
S
'
CC
'
HC
'
BB
'
HB
'
AA
'
HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC
(0,5đi
ể
m)
b) Áp d
ụ
ng tính ch
ấ
t phân giác vào các tam giác ABC,
ABI, AIC:
AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
(0,5đi
ể
m )
AM
.
IC
.
BN
CM
.
AN
.
BI
1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
(0,5đi
ể
m )
12 tháng 3 2021
c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó \(AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).
Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.
Ta có \(AH=CE=\dfrac{CF}{2}\).
Do đó \(CF^2+CB^2=BF^2\le\left(AB+AF\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\Rightarrow CF^2\le\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)\Rightarrow AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).
Bổ đề được cm.
Áp dụng ta có \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+BA-AC\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+AC-AB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}}=4\).
Vậy ta có đpcm.
12 tháng 3 2021
a) Ta có \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{HA'.BC}{AA'.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\).
Tương tự \(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}};\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\).
Do đó \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\).