a) Xét tứ giác OBAC có

\(\widehat{OBA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=\left(3R\right)^2-R^2=8R^2\)

=>\(BA=\sqrt{8R^2}=2R\sqrt2\)

b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BOA=\(\frac{BA}{OA}=\frac{2R\sqrt2}{3R}=\frac{2\sqrt2}{3}\)

nên \(\hat{BOA}\) ≃70 độ 32p

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc BOC và AB=AC
OA là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BOA}=2\cdot70^032p=140^064p=141^014p\)

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OH=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}\)

a: Xét (O) có

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC

a: Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) co

ΔBDC nội tiếp

BD là đường kính

=>ΔBCD vuông tại C

=>DC//OA

Nội tiếp chắn nửa đg tròn hả bạn :^?

Sửa đề: E là giao điểm của AD và (O)

Xét (O) có

\(\hat{MCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CM và dây cung CE
\(\hat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{MCE}=\hat{CAE}\)

Xét ΔMCE và ΔMAC có

\(\hat{MCE}=\hat{MAC}\)

góc CME chung

Do đó: ΔMCE~ΔMAC

=>\(\frac{MC}{MA}=\frac{ME}{MC}\)

=>\(MC^2=ME\cdot MA\) (1)

Xét (O) có

\(\hat{EDB}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{EDB}\)

mà \(\hat{EDB}=\hat{MAE}\) (hai góc so le trong, BD//AC)

nên \(\hat{MAE}=\hat{MBA}\)

Xét ΔMAE và ΔMBA có

\(\hat{MAE}=\hat{MBA}\)

góc AME chung

Do đó: ΔMAE~ΔMBA

=>\(\frac{MA}{MB}=\frac{ME}{MA}\)

=>\(MA^2=ME\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra MA=MC

=>M là trung điểm của AC

Sửa đề: E là giao điểm của AD và (O)

Xét (O) có

\(\hat{MCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CM và dây cung CE
\(\hat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{MCE}=\hat{CAE}\)

Xét ΔMCE và ΔMAC có

\(\hat{MCE}=\hat{MAC}\)

góc CME chung

Do đó: ΔMCE~ΔMAC

=>\(\frac{MC}{MA}=\frac{ME}{MC}\)

=>\(MC^2=ME\cdot MA\) (1)

Xét (O) có

\(\hat{EDB}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{EDB}\)

mà \(\hat{EDB}=\hat{MAE}\) (hai góc so le trong, BD//AC)

nên \(\hat{MAE}=\hat{MBA}\)

Xét ΔMAE và ΔMBA có

\(\hat{MAE}=\hat{MBA}\)

góc AME chung

Do đó: ΔMAE~ΔMBA

=>\(\frac{MA}{MB}=\frac{ME}{MA}\)

=>\(MA^2=ME\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra MA=MC

=>M là trung điểm của AC

=>BE đi qua trung điểm M của AC

a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(AB^2=\left(3R\right)^2-R^2=9R^2-R^2=8R^2\)

Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{BDE}\)

Xét ΔABE và ΔADB có

\(\hat{ABE}=\hat{ADB}\)

góc BAE chung

Do đó: ΔABE~ΔADB

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AE\cdot AD=AB^2=8R^2\)