ΔAOB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OB^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2-6^2=52-36=16=4^2\)

=>OB=4(cm)

Xét ΔAOB vuông tại A có AO là đường cao

nên \(AO^2=OB\cdot OD\)

=>\(OD=\frac{6^2}{4}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

BD=BO+OD=4+9=13(cm)

Xét ΔADC vuông tại D có DO là đường cao

nên \(DO^2=OA\cdot OC\)

=>\(9^2=6\cdot OC\)

=>OC=81/6=13,5(cm)

AC=AO+OC=13,5+6=19,5(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot19,5\cdot13\)

\(=6,5\cdot19,5=126,75\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét tam giác vuông OAB:

\(OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=4\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABD với đường cao AO:

\(AB^2=OB.BD\Rightarrow BD=\dfrac{AB^2}{OB}=13\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OD=BD-OB=9\\AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{29}\end{matrix}\right.\)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\left(slt\right)\Rightarrow\Delta_VAOB\sim\Delta_VCOD\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OB}{OD}\Rightarrow DC=\dfrac{AB.OD}{OB}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AD.\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{29}.\left(2\sqrt{13}+\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\right)=...\)

Đáp án cần chọn là: B

Xét ΔMCD có AB//CD
nên ΔMAB~ΔMDC

=>\(\dfrac{S_{MAB}}{S_{MDC}}=\left(\dfrac{AB}{CD}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

=>\(S_{MAB}=\dfrac{1}{9}\cdot S_{MDC}\)

Ta có: \(S_{MAB}+S_{ABCD}=S_{MDC}\)

=>\(S_{ABCD}=S_{MDC}-\dfrac{1}{9}\cdot S_{MDC}=\dfrac{8}{9}\cdot S_{MDC}\)

=>\(S_{MDC}=64:\dfrac{8}{9}=72\left(cm^2\right)\)

=>\(S_{MAB}=\dfrac{1}{9}\cdot72=8\left(cm^2\right)\)

ABCD là hình thang vuông tại A và D

=>\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\left(BA+CD\right)=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot\left(12+18\right)=4\cdot30=120\left(cm^2\right)\)

Diện tích tam giác ABD là:

\(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot8=4\cdot12=48\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{ABD}+S_{BDC}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{BDC}+48=120\)

=>\(S_{BDC}=72\left(cm^2\right)\)

=>\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{72}{120}=\dfrac{3}{5}=60\%\)

ΔAOB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OB^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2-6^2=52-36=16=4^2\)

=>OB=4(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có AO là đường cao

nên \(BO\cdot BD=BA^2\)

=>\(BD=\frac{\left(2\sqrt{13}\right)^2}{4}=\frac{52}{4}=13\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(AD^2=13^2-\left(2\sqrt{13}\right)^2=169-52=117\)

=>\(AD=3\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔADC vuông tại D có DO là đường cao

nên \(AO\cdot AC=AD^2\)

=>\(AC=\frac{\left(3\sqrt{13}\right)^2}{6}=\frac{9\cdot13}{6}=13\cdot1,5=19,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot13\cdot19,5=6,5\cdot19,5=126,75\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét ∆ ADB vuông tại A có: AH là đường cao ứng với cạnh huyền BD

⇒ A H 2 = HB. HD = 8.18  HA = 12 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét  ∆ ADC vuông tại D có: DH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

⇒ H D 2 = H A . H C ⇒ 18 2 = 12 H C => HC = 27 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: AC = AH + HC = 12 + 27 = 39 cm

BD = BH + HD = 8 + 18 = 26cm

S A B C D = A C . B D 2 = 26.39 2 = 507 c m 2

Đáp án cần chọn là: D