a: Ta có: \(\hat{ABD}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

b: Xét ΔABD và ΔACE có

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

AB=AC

\(\hat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

c: ΔABD=ΔACE

=>BD=CE và AD=AE
Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)

nên ED//BC

Xét tứ giác BEDC có

ED//BC

EC=BD

Do đó: BEDC là hình thang cân

d: Ta có; ED//BC

=>\(\hat{EDB}=\hat{DBC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DBC}=\hat{EBD}\)

nên \(\hat{EBD}=\hat{EDB}\)

=>EB=ED

mà EB=DC

nên BE=ED=DC

e: ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-50^0}{2}=65^0\)

DE//BC

=>\(\hat{DEB}+\hat{EBC}=180^0\)

=>\(\hat{DEB}=180^0-65^0=115^0\)

BEDC là hình thang cân

=>\(\hat{BED}=\hat{EDC}\)

=>\(\hat{EDC}=115^0\)

a, xét tam giác AHD và tam giác AHB có : AH hcung

góc AHD = góc AHB = 90 

HD = HB (Gt)

=> tam giác HAB = tam giác HAD (2cgv)

=> AD = AB (Đn)

=> tam giác ABD cân tại  (Đn)

có góc BAC = 60 (gt)

=> tam giác ABD đều

b, tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> góc ABC + góc ACB  = 90 (Đl)

góc ABC = 60 (gt)

=> góc ACB = 30  mà tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> AB = BC/2 (đl)

có AB = AD = BD do tam giác ABD đều (câu a)

=> AD  = BD = BC/2 

BD + CB = BC 

=> AD = DC = BC/2

Vì tam giác ABC có AB=BC=AC

=> tam giác ABC đều

=> ABC=ACB=BAC

Tam giác BAD có

DA=DB

=> tam  giác BDA cân tại D

=> DAB=DBA

Lại có

CAD=CAB+BAD

CBD=CBA+ABD

Vì BAC=ABC, BAD=ABD

=> CAD=CBD

=> DPCM

Lời giải:
a. $AB=AC=14$ cm nên $ABC$ là tam giác cân tại $A$
Do đó đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến 

$\Rightarrow BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ (cm) 

b. 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}=1$ 

Hình vẽ:

a: Diện tích tam giác ABD là:

\(S_{ABD}=\frac12\times AB\times AD=\frac12\times3\times4=6\left(\operatorname{cm}^2\operatorname{}^{}\right)\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\times\left(AB+CD\right)\times AD=\frac12\times\left(4+5\right)\times3=\frac32\times9=\frac{27}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{ABD}+S_{BDC}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{BDC}=13,5-6=7,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: \(\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}}=\frac{6}{7.5}=\frac{8}{10}=80\%\)