a:

Sửa đề; Chứng minh ΔOQM đều

Xét tứ giác DEBC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\left(=60^0\right)\)

nên DEBC là hình thang cân

Ta có: OQ//AB

=>\(\hat{OQM}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OQM}=60^0\)

OM//AC
=>\(\hat{OMQ}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OMQ}=60^0\)

Xét ΔOMQ có \(\hat{OQM}=\hat{OMQ}\left(=60^0\right)\)

nên ΔOMQ đều

b: DE//BC

=>\(\hat{ODN}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{ODN}=60^0\)

DO//BC

=>\(\hat{NOD}=\hat{OMQ}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{NOD}=60^0\)

Xét ΔOND có \(\hat{ODN}=\hat{NOD}=60^0\)

nên ΔOND đều

Ta có: DE//BC

=>\(\hat{OEP}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OEP}=60^0\)

OE//QC

=>\(\hat{POE}=\hat{PQC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{POE}=60^0\)

Xét ΔOPE có \(\hat{OEP}=\hat{POE}=60^0\)

nên ΔOPE đều

ΔOQM đều

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của QM

ΔODN đều

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của DN

ΔOPE cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của PE

Xét tứ giác BDOQ có

BD//OQ

BQ//DO

Do đó: BDOQ là hình bình hành

Xét tứ giác CEOM có

CE//OM

CM//OE

Do đó: CEOM là hình bình hành

AH+BI+CK

=AN+NH+BQ+QI+CE+EK

=AN+1/2ND+BQ+1/2QM+CE+1/2EP

=AN+1/2OD+BQ+1/2OQ+CE+1/2OE

=AN+BQ+CE+1/2DE+1/2BD

=AN+BQ+CE+1/2AD+1/2BD

=AN+BQ+CE+1/2AB

=AN+DO+OM+1/2AB

=AN+ND+OQ+1/2AB

=AD+BD+1/2AB

=AB+1/2AB

=1,5AB=1,5a

a: Xét tứ giác BDEM có 

DE//BM

BD//EM

Do đó: BDEM là hình bình hành

Suy ra: DE=BM

mà DE=BC/2

nên BM=BC/2

hay M là trung điểm của BC

Xét ΔADE và ΔEMC có

\(\widehat{A}=\widehat{CEM}\)

DE=MC

\(\widehat{ADE}=\widehat{EMC}\)

Do đó: ΔADE=ΔEMC

b: Xét ΔABC có

DE//BC

nên AD/AB=DE/BC

=>AD/AB=1/2

=>AD=1/2AB

hay D là trung điểm của AB

 Gọi T là giao điểm của DE và AB. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt DA, DT lần lượt tại U, V.

 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC, cát tuyến TED, ta có:

 \(\dfrac{TA}{TB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)

 Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với AD, BE, CF đồng quy tại O, ta có:

 \(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\Leftrightarrow\dfrac{TA+FA}{TB}=\dfrac{2FA}{TB}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)

Mà theo định lý Thales:

 \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{FV}{BD}\) và \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FU}{BD}\)

 Từ đó suy ra \(\dfrac{FV}{BD}=\dfrac{2FU}{BD}\) \(\Rightarrow FV=2FU\) hay U là trung điểm FV.

 Áp dụng bổ đề hình thang, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm MN hay \(OM=ON\) (đpcm).

 (Bổ đề hình thang phát biểu như sau: Trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm của 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của một hình thang thì thẳng hàng. Chứng minh khá dễ, mình nhường lại cho bạn tự tìm hiểu nhé.)

Chỗ biến đổi này mình làm lại nhé:

Cần chứng minh: \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)

\(\Leftrightarrow TF.AB=2AF.TB\)

\(\Leftrightarrow\left(TA+AF\right)\left(AF+BF\right)=2AF\left(TA+AF+BF\right)\)

\(\Leftrightarrow TA.AF+TA.BF+AF^2+AF.BF=2TA.AF+2AF^2+2AF.BF\)

\(\Leftrightarrow TA.AF+AF^2+AF.FB=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow AF\left(TA+AF+FB\right)=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow AF.TB=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\) (luôn đúng)

Vậy \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)