Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong, AB//DC)

\(\hat{ABD}=\hat{DAO}\left(=90^0-\hat{BAO}\right)\)

Do đó: \(\hat{BDC}=\hat{DAO}=\hat{DAC}\)

=>\(\hat{DAC}=\hat{ABD}\)

Xét ΔDAC vuông tại D và ΔABD vuông tại A có

\(\hat{DAC}=\hat{ABD}\)

Do đó: ΔDAC~ΔABD

=>\(\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AD}\)

=>\(DC\cdot AB=AD^2\)

=>\(DC\cdot15=20^2=400\)

=>\(DC=\frac{400}{15}=\frac{80}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AD\cdot\left(AB+CD\right)=\frac12\cdot20\cdot\left(15+\frac{80}{3}\right)\)

\(=10\cdot\left(\frac{45}{3}+\frac{80}{3}\right)=10\cdot\frac{125}{3}=\frac{1250}{3}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

+) Vì ABCD là hình thang nên: CD // AB ⇒ CD// mp(SAB).

- Kẻ DH ⊥ SA.

+) Ta có:

- Từ (1) và (2) suy ra:

- Trong tam giác vuông SAD ta có:

a, Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD, tính được BD = 25cm, OB = 9cm, OD = 16cm

b, Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông DAC tính được OA = 12cm, AC = 100 3 cm

c, Tính được S =  1250 3 c m 2

\(\widehat{ACB}=90\)

Kẻ BH⊥CD tại H

Xét tứ giác ABHD có \(\hat{BAD}=\hat{ADH}=\hat{BHD}=90^0\)

nên ABHD là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABHD có AB=AD
nên ABHD là hình vuông

=>AB=BH=HD=DA=a

ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(BD=a\sqrt2\)

=>\(\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt2\)

Xét ΔBHC vuông tại H có \(\hat{C}=45^0\)

nên ΔBHC vuông cân tại H

=>HB=HC=a

DC=DH+HC=a+a=2a

=>\(\left|\overrightarrow{CD}\right|=CD=2a\)

ΔBHC vuông tại H

=>\(HB^2+HC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(BC=a\sqrt2\)

=>\(\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=a\sqrt2\)

ΔAOB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OB^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2-6^2=52-36=16=4^2\)

=>OB=4(cm)

Xét ΔAOB vuông tại A có AO là đường cao

nên \(AO^2=OB\cdot OD\)

=>\(OD=\frac{6^2}{4}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

BD=BO+OD=4+9=13(cm)

Xét ΔADC vuông tại D có DO là đường cao

nên \(DO^2=OA\cdot OC\)

=>\(9^2=6\cdot OC\)

=>OC=81/6=13,5(cm)

AC=AO+OC=13,5+6=19,5(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot19,5\cdot13\)

\(=6,5\cdot19,5=126,75\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Xét tam giác vuông OAB:

\(OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=4\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABD với đường cao AO:

\(AB^2=OB.BD\Rightarrow BD=\dfrac{AB^2}{OB}=13\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OD=BD-OB=9\\AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{29}\end{matrix}\right.\)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\left(slt\right)\Rightarrow\Delta_VAOB\sim\Delta_VCOD\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OB}{OD}\Rightarrow DC=\dfrac{AB.OD}{OB}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AD.\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{29}.\left(2\sqrt{13}+\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\right)=...\)

a, Bạn chứng minh được \(\Delta ABD\infty\Delta BDC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}\Rightarrow AB.DC=BD^2\Rightarrow2.8=BD^2\Rightarrow BD^2=16\Rightarrow BD=4\left(cm\right)\)(vì AB = 2cm , CD = 8 cm)

Ta có: \(\frac{BD}{CD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

Xét tam giác BDC vuông tại B có: BD = 1/2 CD nên \(\widehat{C}=30^0\)

ABCD là hình thang vuông(gt) \(\Rightarrow AB//CD\)

 \(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{C}=180^0\) ( 2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+30^0=180^0\) (do góc C = 30 độ)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=150^0\)

b, Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ABD vuông tại A, tính được: \(AD=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

Diện tích hình thang ABCD là: 

                         \(\frac{\left(2+8\right).\sqrt{12}}{2}=5\sqrt{12}\left(cm^2\right)\) 

Chúc bạn học tốt.

thang cho dung hoi nua