b: A(-1;2); B(3;-1); D(x;y)

\(AD=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2}\)

\(BD=\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2}\)

\(\) \(AB=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)

ΔABD đều

=>AD=BD=AB

=>\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5^2=25\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+2x+1+y^2-4y+4=x^2-6x+9+y^2+2y+1\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x-4y+5=-6x+2y+10\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}8x-6y=5\\ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\end{cases}\)

8x-6y=5

=>\(6y=8x-5\)

=>\(y=\frac{8x-5}{6}\)

\(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(\frac{8x-5}{6}-2\right)^2=25\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(\frac{8x-20}{6}\right)^2=25\)

=>\(36\left(x+1\right)^2+\left(8x-20\right)^2=25\cdot36\)

=>\(36x^2+72x+36+64x^2-320x+400=900\)

=>\(100x^2-248x-464=0\)

=>\(25x^2-62x-116=0\) (1)

\(\Delta=\left(-62\right)^2-4\cdot25\cdot\left(-116\right)=15444>0\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{62-\sqrt{15444}}{2\cdot25}=\frac{62-2\sqrt{3861}}{2\cdot25}=\frac{31-\sqrt{3861}}{25}\\ x=\frac{31+\sqrt{3861}}{25}\end{array}\right.\)

Nếu \(x=\frac{31-\sqrt{3861}}{25}\) thì \(y=\frac16\left(8\cdot\frac{31-\sqrt{3861}}{25}-5\right)=\frac16\cdot\frac{248-8\sqrt{3861}-125}{25}=\frac16\cdot\frac{123-8\sqrt{3861}}{25}\)

\(=\frac{123-8\sqrt{3861}}{150}\)

\(=\frac{123-8\cdot3\cdot\sqrt{429}}{150}=\frac{41-8\sqrt{429}}{50}\)

Nếu \(x=\frac{31+\sqrt{3861}}{25}\) thì \(y=\frac16\left(8\cdot\frac{31+\sqrt{3861}}{25}-5\right)=\frac16\cdot\frac{248+8\sqrt{3861}-125}{25}=\frac16\cdot\frac{123+8\sqrt{3861}}{25}\)

\(=\frac{123+8\sqrt{3861}}{150}\)

\(=\frac{123+8\cdot3\cdot\sqrt{429}}{150}=\frac{41+8\sqrt{429}}{50}\)

Lời giải:

Ta có:

\((S): x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3\)

Do đó mặt cầu \((S)\) có tâm \(O=(1,1,1)\) và \(R=\sqrt{3}\)

Khi đó, dễ dàng nhận thấy \(A\in (S)\)

Ta có \(S_{OAB}=\frac{OA.OB.\sin \angle AOB}{2}\leq \frac{OA.OB.1}{2}=\frac{3}{2}\) vì \(\sin AOB\leq 1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\angle AOB=90^0\)

tính OB thế nào ạ

Đáp án là C

Đáp án là C

+) Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác A'BC trên mặt phẳn (ABC)

+) Gọi φ  là góc giữa (A'BC) và  (ABC).

Ta có : 

Trước tiên ta chứng minh bài toán phụ: công thức tính diện tích tam giác ABC có góc A nhọn \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Giải: Kẻ đường cao BH thì \(BH=AB.\sin A\)do đó \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A\)

Ta quay trở lại việc giải bài toán trên. (hình bạn tự vẽ nhé!)

Ta có \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BDF}-S_{CDE}\)suy ra \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}.\)

Áp dụng bài toán phụ ta có \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AE.AF.\sin A}{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}=\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}\)

Trong các tam giác vuông ACF và ABE có: \(\cos A=\frac{AF}{AC}\)và \(\cos A=\frac{AE}{AB}\)

Do đó \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)tương tự \(\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}=\cos^2B\)và \(\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=\cos^2C\)

Vậy \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\left(1-\cos^2A\right)-\cos^2B-\cos^2C=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C.\)

Hay \(S_{DEF}=\left(\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\)(do \(S_{ABC}=1\)).

1) \(A=\frac{x^2+2x+9}{-2y-y^2+3}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)+\left(2y^2+4y+2\right)+2\left(-y^2-2y+3\right)}{-y^2-2y+3}=\frac{\left(x+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2}{-y^2-2y+3}+2\ge2\)Vậy Min A = 2 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}\)

a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\) thay vào \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) ta có:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm)

b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}\)

\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3 \)