ΔABC có G là trọng tâm

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{B}+x_{C}=3\cdot x_{G}\\ y_{A}+y_{B}+y_{C}=3\cdot y_{G}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{C}=3\cdot\left(-2\right)-1-\left(-1\right)=-6-1+1=-6\\ y_{C}=3\cdot\left(-\frac23\right)-1-3=-2-4=-6\end{cases}\)

=>C(-6;-6)

M trên Oy

=>M(0;y)

M(0;y); B(1;3); C(-6;-6)

\(\overrightarrow{MB}=\left(1-0;3-y\right)=\left(1;3-y\right)\)

\(\overrightarrow{MC}=\left(-6-0;-6-y\right)=\left(-6;-6-y\right)\)

ΔMBC vuông tại M

=>\(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=0\)

=>\(1\cdot\left(-6\right)+\left(3-y\right)\left(-6-y\right)=0\)

=>(y-3)(y+6)-6=0

=>\(y^2+3y-18-6=0\)

=>\(y^2+3y-24=0\) (1)

\(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot\left(-24\right)=9+96=105>0\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}y=\frac{-3-\sqrt{105}}{2\cdot1}=\frac{-3-\sqrt{105}}{2}\\ y=\frac{-3+\sqrt{105}}{2\cdot1}=\frac{-3+\sqrt{105}}{2}\end{array}\right.\)

=>\(M\left(0;\frac{-3-\sqrt{105}}{2}\right);M\left(0;\frac{-3+\sqrt{105}}{2}\right)\)

Giả sử trực tâm của tam giác ABC có tọa độ \(H\left(x;y\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)\\\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x-1\right)-2y=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y=3\left(1\right)\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(x-5;y+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CH}\Leftrightarrow\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-5\right)+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+y=-11\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=-27\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-8;-27\right)\)

Cho mình hỏi cách tính vecto bc vs ạ mình cảm ơn

\(\overrightarrow{BC}=\left(16;4\right)=4\left(4;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Phương trình đường cao xuất phát từ A và vuông góc BC:

\(4\left(x-3\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x+y-14=0\)

Pt đường cao xuất phát từ B:

\(1\left(x+11\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y+11=0\)

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+y-14=0\\x+y+11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\dfrac{25}{3};-\dfrac{58}{3}\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-4\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;3\right)\)

Vì 2.6+(-4).3=0 => AC_|_BC => tg ABC là tam giác vuông

Gọi K là hình chiếu của A lên BC, I là hình chiếu của B lên AC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK\perp BC\\BI\perp AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_K-x_A\right)\left(x_C-x_B\right)=0\\\left(y_K-y_A\right)\left(y_C-y_B\right)=0\\\left(x_I-x_B\right)\left(x_C-x_A\right)=0\\\left(y_I-y_B\right)\left(y_C-y_A\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(...\right)\\K\left(....\right)\end{matrix}\right.\)

Viết phương trình đường thẳng ua A và K; Viết phương trìn đường thẳng ua B và I.

Giao điểm của 2 đường thẳng đó chính là tọa độ trực tâm H

bạn có thể giải tiếp ko?

\(\overrightarrow{AB}=\left(6;3\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)\)

\(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\left(6;9\right)\)

\(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=\left(-6;9\right)\)

\(\Rightarrow\left(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right)=6.\left(-6\right)+9.9=45\)