M-> M' => VÊCTỚ MM'= VT u 
Tv: M' -> M'' => vt M'M'' = v 
áp dụng quy tắc 3 diểm => vt MM' +M'M'' = u+v =w 
=> với mỗi điểm M qua phép tt theo vecto w se biến M -> M'' => ĐÓ LÀ PHÉP TT

Lấy M tùy ý. Gọi (M) = M', (M') = M''. Ta có
\(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M''}=2\overrightarrow{M_oM'}+2\overrightarrow{M'M_1}=2\overrightarrow{M_oM_1}\)\(=2\dfrac{\overrightarrow{v}}{2}=\overrightarrow{v}\).

Vậy M'' = (M) = ((M)), với mọi M

Do đó phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d'.

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): x-3y+6=0 qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\)

=>(d1)//(d)

=>(d1): x-3y+c=0

Lấy A(0;2) thuộc (d)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(0;2) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) là:

x=0+1=1 và y=2+2=4

Thay x=1 và y=4 vào (d1), ta được:

1-3*4+c=0

=>1-12+c=0

=>c=11

=>(d1): x-3y+11=0

Gọi (d2) là ảnh của (d1): x-3y+11=0 qua phép quay tâm O, góc quay -pi/2

=>(d2)⊥(d1)

=>(d2): 3x+y+c=0

Lấy B(1;4) thuộc (d1)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(1;4) qua phép quay tâm O, góc quay -pi/2 là:

\(\begin{cases}x=y_{B}=4\\ y=-x_{B}=-1\end{cases}\)

Thay x=4 và y=-1 vào (d2), ta được:

3*4-1+c=0

=>12-1+c=0

=>c+11=0

=>c=-11

=>(d2): 3x+y-11=0

a: Gọi A(x;y) là điểm thuộc (E)

Gọi A'(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(4;-3\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x^{\prime}=x+4\\ y^{\prime}=y-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=x^{\prime}-4\\ y=y^{\prime}+3\end{cases}\)

Phương trình của (E') là:

\(\frac{\left(x-4\right)^2}{9}+\frac{\left(y+3\right)^2}{4}=1\)

b: Gọi A(x;y) là điểm thuộc (E)

Gọi A'(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(2;1\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x^{\prime}=x+2\\ y^{\prime}=y+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=x^{\prime}-2\\ y=y^{\prime}-3\end{cases}\)

Phương trình của (E') là:

\(\frac{\left(x-2\right)^2}{9}+\frac{\left(y-3\right)^2}{4}=1\)

c: Gọi A(x;y) là điểm thuộc (E)

Gọi A'(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x^{\prime}=x-2\\ y^{\prime}=y+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=x^{\prime}+2\\ y=y^{\prime}-1\end{cases}\)

Phương trình của (E') là:

\(\frac{\left(x+2\right)^2}{9}+\frac{\left(y-1\right)^2}{4}=1\)

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=3-1=2\\y'=5+2=7\end{matrix}\right.\)

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có: \(A=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)\Leftrightarrow C=^T\overrightarrow{-v}\left(A\right)=\left(4;3\right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = \(^T\overrightarrow{v}\) =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy \(^T\overrightarrow{v}\) (d) = d'.

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(^T\overrightarrow{v}\)(d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó \(^T\overrightarrow{v}\) (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8.

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó

(A) = A' ⇔

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có A = (C) ⇔ C= (A) = (4;3)

c)Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy (d) = d'

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi (d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8

(C): \(x^2+y^2-2x-4=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-5=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+y^2=5\)

=>Tâm là I(1;0) và bán kính là \(R=\sqrt5\)

Tọa độ A(x;y) là ảnh của I(1;0) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2 là:

\(\begin{cases}x=1\cdot\left(-2\right)=-2\\ y=0\cdot\left(-2\right)=0\end{cases}\)

=>A(-2;0)

Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(-2;0) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;-2\right)\) là:

x=-2+1=-1 và y=0-2=-2

=>B(-1;-2)

Gọi (C') là ảnh của (C) sau khi thực hiện lần lượt phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2 và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;-2\right)\)

Bán kính của (C') là:

\(R^{\prime}=\sqrt5\cdot\left|-2\right|=2\sqrt5\)

Phương trình (C') là:

\(\left\lbrack x-\left(-1\right)\right\rbrack^2+\left\lbrack y-\left(-2\right)\right\rbrack^2=\left(R^{\prime}\right)^2\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=20\)

a)
Qua phép đối xứng trục Oy điểm \(M\left(1;1\right)\) biến thành điểm \(M'\left(x;y\right)\) có tọa độ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=-x=-1\\y'=y=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(M'\left(-1;1\right)\).
Qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(2;0\right)\) điểm M' biến thành điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) là:\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1+2=1\\y_A=0+1=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(A\left(1;1\right)\equiv M\) là điểm cần tìm.
b) Gọi C là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\)
là: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2+1=3\\y_C=0+1=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(C\left(3;1\right)\)
\(M''=Đ_{Oy}\left(C\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_{M''}=-x_C=-3\\y_{M''}=y_C=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(M''\left(-3;1\right)\).

1.

Do \(\overrightarrow{v}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{v}=\left(a;a\right)\) với a là số thực khác 0

Chọn \(M\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=a+0=a\\y_{M'}=a+0=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;a\right)\)

Thay vào pt d' ta được:

\(a+a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{2}\)

2.

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\)

Gọi \(A\left(0;1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{u}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=a\\y_{A'}=b+1\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A' vào pt d' ta được: \(a+b+1-5=0\Leftrightarrow a+b=4\)

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=2\)