a: \(y'=\dfrac{\left(x-4\right)'\left(2x+1\right)-\left(x-4\right)\left(2x+1\right)'}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{2x+1-2\left(x-4\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{9}{\left(2x+1\right)^2}\)

Khi x=-1 thì \(y=\dfrac{-1-4}{-2+1}=\dfrac{-5}{-1}=5\)

Khi x=-1 thì \(y'=\dfrac{9}{\left(-2\cdot1+1\right)^2}=\dfrac{9}{\left(-2+1\right)^2}=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=-1 là:

y-5=9(x+1)

=>y-5=9x+9

=>y=9x+14

b: \(y'=\dfrac{2'\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-2}{\left(x-3\right)^2}\)

Khi x=2 thì \(y=\dfrac{2}{2-3}=-1;y'=-\dfrac{-2}{\left(2-3\right)^2}=-2\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y-(-1)=-2(x-2)

=>y+1=-2x+4

=>y=-2x+3

Bài 1: \(y=\frac13x^3-2x^2+3x\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2\cdot2x+3=x^2-4x+3\)

\(y^{\prime}\left(\frac49\right)=\left(\frac49\right)^2-4\cdot\frac49+3=\frac{16}{81}-\frac{16}{9}+3=\frac{16}{81}-\frac{144}{81}+\frac{243}{81}=\frac{115}{81}\)

Phương trình tiếp tuyến tại A(4/9;4/3) là:

\(y-f\left(\frac49\right)=f^{\prime}\left(\frac49\right)\left(x-\frac49\right)\)

=>\(y-\frac43=\frac{115}{81}\left(x-\frac49\right)=\frac{115}{81}x-\frac{460}{729}\)

=>\(y=\frac{115}{81}x-\frac{460}{729}+\frac43=\frac{115}{81}x+\frac{512}{729}\)

Bài 2:

\(y=\frac12x^4-3x^2+\frac32\)

=>y'=\(\frac12\cdot4x^3-3\cdot2x=2x^3-6x\)

y'(0)=2*0^3-6*0=0

Phương trình tiếp tuyến tại x=0 là:

y-f(0)=f'(0)(x-0)

=>y-3/2=0(x-0)=0

=>y=3/2

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1;0} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(x = 0\).

\(y'=\dfrac{\left(5x-1\right)'\left(x+2\right)-\left(5x-1\right)\cdot\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{5\left(x+2\right)-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{5x+10-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{11}{\left(x+2\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{-5-1}{-1+2}=-6\)

f'(-1)=11/(-1+2)^2=11

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1;-6) là:

y=11(x+1)+(-6)=11x+11-6=11x+5

Bài 2:

a: \(y=x^3+x-3\)

=>y'=\(3x^2+1\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)-3=-1-1-3=-5\)

f'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2+1=4\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-5)=4(x+1)=4x+4

=>y+5=4x+4

=>y=4x-1

b: \(y=x^3-3x^2\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x=3x^2-6x\)

Đặt y=-4

=>\(x^3-3x^2=-4\)

=>\(x^3-3x^2+4=0\)

=>(x+1)(x^2-4x+4)=0

=>x=-1 hoặc x=2

TH1: x=-1

y'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2-6\cdot\left(-1\right)=3+6=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-4)=9(x+1)=9x+9

=>y=9x+9-4=9x+5

TH2: x=2

=>y'(2)=\(3\cdot2^2-6\cdot2=0\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=2 là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-(-4)=0(x-2)

=>y=-4

c: \(y=\frac{x-3}{2x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x-3\right)^{\prime}\left(2x+1\right)-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)^{\prime}}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{2x+1-2\left(x-3\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{7}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\frac{-1-3}{2\cdot\left(-1\right)+1}=\frac{-4}{-2+1}=\frac{-4}{-1}=4\)

f'(-1)=\(\frac{7}{\left\lbrack2\cdot\left(-1\right)+1\right\rbrack^2}=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-4=7(x+1)=7x+7

=>y=7x+11

Bài 3:

a: \(y=\frac13x^3-2x^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2\cdot2x+3=x^2-4x+3\)

Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến

(d)//y=-3/4

=>\(x^2-4x+3=-\frac34\)

=>\(x^2-4x+4=1-\frac34=\frac14\)

=>\(\left(x-2\right)^2=\frac14\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\frac12\\ x-2=-\frac12\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac52\\ x=\frac32\end{array}\right.\)

TH1: x=5/2

\(f\left(\frac52\right)=\frac13\cdot\left(\frac52\right)^3-2\cdot\left(\frac52\right)^2+3\cdot\frac52+1=\frac13\cdot\frac{125}{8}-2\cdot\frac{25}{4}+\frac{15}{2}+1=\frac{125}{24}-\frac{25}{2}+\frac{15}{2}+1\)

\(=\frac{125}{24}-5+1=\frac{125}{24}-4=\frac{125-96}{24}=\frac{29}{24}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=5/2 là:

y-f(5/2)=f'(5/2)(x-5/2)

=>y-29/24=-3/4(x-5/2)

=>\(y-\frac{29}{24}=-\frac34x+\frac{15}{8}\)

=>\(y=-\frac34x+\frac{15}{8}+\frac{29}{24}=\frac{-3}{4}x+\frac{74}{24}=-\frac34x+\frac{37}{12}\)

TH2: x=3/2

\(f\left(\frac32\right)=\frac13\cdot\left(\frac32\right)^3-2\cdot\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32+1=\frac13\cdot\frac{27}{8}-2\cdot\frac94+\frac92+1=\frac98+1=\frac{17}{8}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=3/2 là:

y-f(3/2)=f'(3/2)(x-3/2)

=>y-17/8=-3/4(x-3/2)=-3/4x+9/8

=>\(y=-\frac34x+\frac98+\frac{17}{8}=-\frac34x+\frac{26}{8}=-\frac34x+\frac{13}{4}\)

a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

ta có:

\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\)

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\end{array}\)

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\)

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0\)

a, Phương trình tiếp tuyến đi qua M: \(ax+by-3a+b=0\left(\Delta\right)\)

Đường tròn đã cho có tâm \(I=\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|a-2b-3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta:2x+y-5=0\)

b, Phương trình tiếp tuyến: \(\left(d\right)2x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2.1-1.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+4\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d:2x-y+1=0\\d:2x-y-9=0\end{matrix}\right.\)

Đường tròn (S) tâm \(I\left(-1;-3\right)\) bán kính \(R=3\)

Thế tọa độ A vào pt (S) thỏa mãn nên A nằm trên đường tròn

Ta cần tìm B, C sao cho chi vi ABC lớn nhất

Đặt \(\left(AB;AC;BC\right)=\left(c;b;a\right)\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)

\(\Rightarrow a+b+c=2R\left(sinA+sinB+sinC\right)\)

Mặt khác ta có BĐT quen thuộc \(sinA+sinB+sinC\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

\(\Rightarrow a=b=c=2R.sin60^0=3\sqrt{3}\)

Khi đó I đồng thời là trọng tâm kiêm trực tâm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AI\\d\left(A;BC\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình BC có dạng \(y=-\dfrac{3}{2}\)

Hay (Cm) có 1 tiếp tuyến là \(y=-\dfrac{3}{2}\) (hệ số góc bằng 0 nên tiếp tuyến này đi qua 2 cực tiểu)

\(\Rightarrow m=-1\)