Giao điểm của \(d_1;d_2\) là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+4y-1=0\\8x+y-7=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Đây là đỉnh A hoặc B (do tọa độ khác tọa độ C)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(A\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường cao AH ứng với BC có pt là 5x+4y-1=0

Do AH vuông góc BC nên BC nhận (4;-5) là 1 vtpt

Phương trình BC: 

\(4\left(x-3\right)-5\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x-5y+13=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;6\right)=2\left(1;3\right)\Rightarrow\) AC nhận (3;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(3\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)

B thuộc BC nên tọa độ có dạng: \(\left(b;\dfrac{4b+13}{5}\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+3}{2};\dfrac{2b+19}{5}\right)\)

M thuôc trung tuyến \(d_2\) qua A nên:

\(8\left(\dfrac{b+3}{2}\right)+\left(\dfrac{2b+19}{5}\right)-7=0\) \(\Rightarrow b=-2\)

\(\Rightarrow B\left(-2;1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-3;2\right)\)

Phương trình AB: \(2\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y+1=0\)

ai biêt

Giả sử M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) MN, MP, NP là các đường trung bình của tam giác

\(\Rightarrow MN||BC\) ; \(MP||AC\) ; \(NP||AB\)

\(\overrightarrow{MN}=\left(3;2\right);\overrightarrow{MP}=\left(1;-5\right);\overrightarrow{PN}=\left(2;7\right)\)

\(\Rightarrow\) BC, AC, AB có vecto chỉ phương lần lượt là (3;2); (1;-5); (2;7)

Phương trình chính tắc BC qua P có dạng: \(\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y+4}{2}\)

Phương trình chính tắc AC qua N có dạng: \(\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-3}{-5}\)

Phương trình chính tắc AB qua M có dạng: \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{7}\)

Do G thuộc y=x nên tọa độ G có dạng: \(G\left(g;g\right)\)

Do C thuộc \(x+y+4=0\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;-c-4\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+1+c=3.g\\0+2-c-4=3g\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3g=0\\-c-3g=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\g=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(-1;-3\right)\)

Biết tọa độ 3 đỉnh, dễ dàng viết pt các cạnh

a: Gọi H là trực tâm của ΔABC

Tọa độ H là:

\(\begin{cases}7x-2y-1=0\\ 2x-7y-6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x-2y=1\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}14x-4y=2\\ 14x-49y=42\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}14x-4y-14x+49y=2-42\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}45y=-40\\ 2x=7y+6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-\frac89\\ 2x=7\cdot\frac{-8}{9}+6=\frac{-56+54}{9}=-\frac29\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-\frac89\\ x=-\frac19\end{cases}\)

=>H(-1/9;-8/9)

BH: 7x-2y-1=0

=>AC: 2x+7y+c=0

Thay x=3 và y=-4 vào 2x+7y+c=0, ta được:

2*3+7*(-4)+c=0

=>c+6-28=0

=>c-22=0

=>c=22

=>AC: 2x+7y+22=0

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}2x+7y+22=0\\ 2x-7y-6=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+7y=-22\\ 2x-7y=6\end{cases}\)

=>2x+7y+2x-7y=-22+6 và 2x-7y=6

=>4x=-16 và 7y=2x-6

=>x=-4 và 7y=2*(-4)-6=-8-6=-14

=>x=-4 và y=-2

=>C(-4;-2)

CH: 2x-7y-6=0

=>AB: 7x+2y+b=0

Thay x=3 và y=-4 vào 7x+2y+b=0, ta được:

\(7\cdot3+2\cdot\left(-4\right)+b=0\)

=>b+21-8=0

=>b+13=0

=>b=-13

=>AB: 7x+2y-13=0

Tọa độ B là:

7x+2y-13=0 và 7x-2y-1=0

=>7x+2y-13+7x-2y-1=0

=>14x-14=0

=>14x=14

=>x=1

7x+2y-13=0

=>7*1+2y-13=0

=>2y-6=0

=>y=3

=>B(1;3)

B(1;3); C(-4;-2)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-4-1;-2-3\right)=\left(-5;-5\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;-1)

Phương trình BC là:

1(x-1)+(-1)(y-3)=0

=>x-1-y+3=0

=>x-y+2=0

a: M là trung điểm của AC

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{C}=2\cdot x_{M}\\ y_{A}+y_{C}=2\cdot y_{M}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1+x_{C}=2\cdot\frac12=1\\ 1+y_{C}=2\cdot\frac{-3}{2}=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{C}=0\\ y_{C}=-3-1=-4\end{cases}\)

=>C(0;-4)

b: A(1;1); B(-3;5)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-3-1;5-1\right)=\left(-4;4\right)=\left(-1;1\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

A(1;1); C(0;-4)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(0-1;-4-1\right)=\left(-1;-5\right)=\left(1;5\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-5;1)

Phương trình đường thẳng AC là:

-5(x-1)+1(y-1)=0

=>-5x+5+y-1=0

=>-5x+y+4=0

B(-3;5); C(0;-4)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(0+3;-4-5\right)=\left(3;-9\right)=\left(1;-3\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (3;1)

Phương trình đường thẳng BC là:

3(x+3)+1(y-5)=0

=>3x+9+y-5=0

=>3x+y+4=0

c:

B(-3;5); AC: -5x+y+4=0

Khoảng cách từ B đến AC là:

\(\frac{\left|-3\cdot\left(-5\right)+5\cdot1+4\right|}{\sqrt{\left(-5\right)^2+1^2}}=\frac{\left|15+5+4\right|}{\sqrt{26}}=\frac{24}{\sqrt{26}}\)

Thay tọa độ A vào 2 pt trung tuyến đều không thỏa mãn

\(\Rightarrow\) 2 trung đó đó xuất phát từ B và C, giả sử trung tuyến xuất phát từ B có pt x-2y+1=0 và từ C có pt y=1

\(\Rightarrow B\left(2b-1;b\right)\) ; \(C\left(c;1\right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) G là giao điểm 2 trung tuyến nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+2b-1+c=3.1\\3+b+1=3.1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\c=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\left(-3;-1\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\)

Biết 3 tọa độ 3 đỉnh của tam giác, dễ dàng viết được phương trình các cạnh