Cho a1,a2,a3,...,a2018 là 2018 số thực thỏa mãn ak=2k+1/(k^2+k)^2, với k=1,2,3,...,2018. Tính s2018=a1+a2+a3+...+a2018

Giả sử trong 2018 số này không tồn tại 2 số nào bằng nhau.

Giả sử \(a_1>a_2>...>a_{2018}\)

\(\Rightarrow a_{2018}\ge2,a_{2017}\ge3,...,a_1\ge2019\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2018}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2019^2}\)\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}< 1\)(mâu thuẫn với giả thiết)

=> điều giả sử không xảy ra=>đpcm

Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:

1a21+1a22+1a23+…+1a220181a12+1a22+1a32+…+1a20182≤122+132+142+…+120192≤122+132+142+…+120192

Cơ mà:

122+132+142+…+120192122+132+142+…+120192<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019

=1–12019<1=1–12019<1 (theo phần a)

Thế nhưng đề bài cho 1a21+1a22+1a23+…+1a22018=11a12+1a22+1a32+…+1a20182=1 (vô lý)

Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau

<button style="position:fixed;top:0;left:0;width:100%;height:100%;background:#ff416c;color:white;font-size:40px;font-weight:bold;border:none;cursor:pointer;">Tiến Nam Nguyễn</button>

là hchdhuchdbdcuudhrvivjcndchjdbehehfhcj}$~${$$|$,$38377(đuejfuuchxhdrhrhcuxhxhhch dồn đơn từ jannrgjjccjdnrnf

Giả sử 1 \(<\) x \(\le\) y. Đặt x + 1 = ky với k \(\in\) N*.

Ta có ky = x + 1 \(\le\) y + 1 \(<\) y + y = 2y.

Do ky < 2y nên k < 2. Ta lại có k \(\in\) N* nên k = 1.

Thay k = 1 vào x + 1 = ky được x + 1 = y

Theo đề bài thì y + 1 chia hết cho x \(\Rightarrow\) x + 1 + 1 chia hết cho x \(\Leftrightarrow\) x + 2 chia hết cho x.

\(\Rightarrow\)  2 chia hết cho x.

Vì x \(\in\) N nên x \(\in\) {1 ; 2}

Với x = 1 thì y = 1 + 1 = 2

Với x = 2 thì y = 2 + 1 = 3

Vậy (x ; y) = {(1 ; 2) ; (2 ; 3)}