Lời giải:

Đường trung trực của $AB$ sẽ cách đều 2 điểm $A,B$. Gọi đường này là $d$

$\overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{AB}=(-1,1)$

$(d)$ là đường trung trực của $AB$ nên đi qua trung điểm $I(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ của $AB$

Do đó PTĐT $(d)$ là:

$-1(x-\frac{3}{2})+1(y-\frac{7}{2}=0$

$\Leftrightarrow -x+y-2=0$

\(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(3;-9\right)\)

Câu 2: Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\begin{cases}x=\frac{2+4}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ z=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5\end{cases}\)

A(2;3;7); B(4;1;3)

\(\overrightarrow{AB}=\left(4-2;1-3;3-7\right)\)

=(2;-2;-4)

=>Đường trung trực của AB sẽ đi qua I(3;2;5) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(2;-2;-4\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

2(x-3)+(-2)(y-2)+(-4)(z-5)=0

=>(x-3)-(y-2)-2(z-5)=0

=>x-3-y+2-2z+10=0

=>x-y-2z+9=0

Vì M(-1;1) nằm trên đường thẳng y=-x là phân giác của hai góc phần tư thứ (II) và (IV)

nên phương trình đi qua M và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân sẽ là phương trình đi qua M và vuông góc với y=-x

Gọi phương trình cần tìm là (d): y=ax+b

(d) vuông góc với y=-x nên \(a\cdot\left(-1\right)=-1\)

=>a=1

=>y=x+b

Thay x=-1 và y=1 vào y=x+b, ta được:

-1+b=1

=>b=1+1

=>b=2

Vậy: (d): y=x+2

gọi Pt đường thảng .....y=ax+b(d)

d đi qua M(-1,1)   1=-a+b⇔b=a+1

gọi d cắt Ox tại \(A\left(-\dfrac{b}{a},O\right)\)

d cắt Oy tại \(B\left(O,b\right)\)

\(\Delta AOB\) vuông cân tại o

\(\Rightarrow OA=OB\Rightarrow\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2+o^2=o^2+b^2\)

\(\dfrac{b^2}{a^2}=b^2\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}=1\Leftrightarrow a^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\b=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

(do d cắt 2 trục tọa độ nên a,b≠0)

vậy PtT đg thảng d:y=x+2

Gọi pt đường thẳng có dạng \(y=ax+b\)

Đường thẳng qua M tạo 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân khi nó có hệ số góc \(a=1\) hoặc \(a=-1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+b\\y=-x+b\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ M vào phương trình ta được:

\(\left[{}\begin{matrix}1=-1+b\\1=-\left(-1\right)+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\b=0\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=x+2\\y=-x\end{matrix}\right.\)

Đáp án B

 là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình của mặt phẳng (P) là -2(x-2)-2(y-3)+(z-1)=0 hay 2x+2y-z-9=0.