1: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=m\cdot0+4=4\end{cases}\)

=>A(0;4)

2: Tọa độ B là:

\(\begin{cases}y=0\\ mx+4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ mx=-4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=-\frac{4}{m}\end{cases}\)

=>\(OB=\sqrt{\left(-\frac{4}{m}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\frac{4}{\left|m\right|}\)

O(0;0); A(0;4)

=>\(OA=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(4-0\right)^2}=4\)

ΔOAB là tam giác cân

=>ΔOAB cân tại O

=>OA=OB

=>\(\frac{4}{\left|m\right|}=4\)

=>|m|=1

=>m=1 hoặc m=-1

vì A là giao điểm của d và Oy nên A(0;y)

vì A \(\in\) d nên tọa độ A thỏa mãn :

y = m . 0 + 4 = 4

tọa độ của A là : A(0;4)

vì B cắt trục Ox  tại B nên B(x;0)

vì B \(\in\) d nên tọa độ B thỏa mãn 

0 = m.x + 4 

x = \(\dfrac{-4}{m}\)

Để tam giác OAB cân tại O thì |\(\dfrac{-4}{m}\)| = 4

                                               |m| =  1

                                                m = 1 và m= -1 

kết luận : A(0;4) và m = 1 và m = -1

Vì A là giao điểm của (d) với trục Oy nên x=0

=>y=-3

`A` là giao điểm của `(d)` và `Oy=>x=0`

    `=>y=-3`

Vậy tọa độ điểm `A` là: `(0;-3)`

a: Khi m=1 thì (d1): y=x+3; (d2): \(y=-\frac11\cdot x+3=-x+3\)

Vẽ đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x+3=-x+3

=>2x=0

=>x=0

Khi x=0 thì y=x+3=0+3=3

=>Tọa độ giao điểm là A(0;3)

b: Vì \(m\cdot\frac{-1}{m}=-1\)

nên (d1)⊥(d2) tại A

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}mx+3=-\frac{1}{m}x+3\\ y=mx+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(m+\frac{1}{m}\right)x=0\\ y=mx+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ y=m\cdot0+3=3\end{cases}\)

=>A(0;3)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}y=0\\ mx+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ mx=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=-\frac{3}{m}\end{cases}\)

=>\(B\left(-\frac{3}{m};0\right)\)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}y=0\\ -\frac{1}{m}\cdot x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ -\frac{x}{m}=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=3m\end{cases}\)

=>C(3m;0)

\(AB=\sqrt{\left(-\frac{3}{m}-0\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{\left(-\frac{3}{m}\right)^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{m^2}+9}=3\cdot\sqrt{\frac{1}{m^2}+1}=3\cdot\frac{\sqrt{m^2+1}}{\left|m\right|}\)

\(AC=\sqrt{\left(3m-0\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{9m^2+9}=3\cdot\sqrt{m^2+1}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot\frac{\sqrt{m^2+1}}{\left|m\right|}\cdot\sqrt{m^2+1}=\frac12\cdot\frac{m^2+1}{\left|m\right|}\)

\(=\frac12\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)\ge\frac12\cdot2\cdot\sqrt{\left|m\right|\cdot\frac{1}{\left|m\right|}}=1\)

Để S ABC nhỏ nhất thì \(\left|m\right|=1\)

=>m=1 hoặc m=-1

a: Khi m=1 thì (d1): y=x+3; (d2): \(y=-\frac11\cdot x+3=-x+3\)

Vẽ đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x+3=-x+3

=>2x=0

=>x=0

Khi x=0 thì y=x+3=0+3=3

=>Tọa độ giao điểm là A(0;3)

b: Vì \(m\cdot\frac{-1}{m}=-1\)

nên (d1)⊥(d2) tại A

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}mx+3=-\frac{1}{m}x+3\\ y=mx+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(m+\frac{1}{m}\right)x=0\\ y=mx+3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ y=m\cdot0+3=3\end{cases}\)

=>A(0;3)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}y=0\\ mx+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ mx=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=-\frac{3}{m}\end{cases}\)

=>\(B\left(-\frac{3}{m};0\right)\)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}y=0\\ -\frac{1}{m}\cdot x+3=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ -\frac{x}{m}=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=3m\end{cases}\)

=>C(3m;0)

\(AB=\sqrt{\left(-\frac{3}{m}-0\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{\left(-\frac{3}{m}\right)^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{m^2}+9}=3\cdot\sqrt{\frac{1}{m^2}+1}=3\cdot\frac{\sqrt{m^2+1}}{\left|m\right|}\)

\(AC=\sqrt{\left(3m-0\right)^2+\left(0-3\right)^2}=\sqrt{9m^2+9}=3\cdot\sqrt{m^2+1}\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot\frac{\sqrt{m^2+1}}{\left|m\right|}\cdot\sqrt{m^2+1}=\frac12\cdot\frac{m^2+1}{\left|m\right|}\)

\(=\frac12\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)\ge\frac12\cdot2\cdot\sqrt{\left|m\right|\cdot\frac{1}{\left|m\right|}}=1\)

Để S ABC nhỏ nhất thì \(\left|m\right|=1\)

=>m=1 hoặc m=-1