A B C I K D O S x

a) Ta có đuờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại A, theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây thì ^DAC = ^DBA

Tuơng tự ^DAB = ^DCA. Do đó ^BDC = ^DAB + ^DAC + ^DBA + ^DCA = 2(^DAB + ^DAC) = 2.^BAC = ^BOC

Suy ra 4 điểm B,D,O,C cùng thuộc một đuờng tròn theo quỹ tích cung chứa góc (đpcm).

b) Gọi đuờng thẳng AD cắt đường tròn đi qua 4 điểm B,O,D,C tại S khác D. Ta sẽ chỉ ra S cố định.

Thật vậy, gọi Dx là tia đối của tia DB. Ta có ^ODC = ^OBC = ^OCB = ^ODx => DO là phân giác ^CDx

Ta thấy hai đuờng tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B nên OI vuông góc AB

Mà AK vuông góc với AB (vì (K) tiếp xúc AB tại A) nên OI // AK. Tuơng tự OK // AI

Từ đây tứ giác AIOK là hình bình hành => IK chia đôi OA. Cũng dễ thấy IK là trung trực của AD

Theo đó IK chứa đuờng trung bình của \(\Delta\)AOD => IK // OD. Mà IK vuông góc AD nên OD vuông góc AD

Kết hợp với OD là phân giác của ^CDx => AD là phân giác của ^BDC (do ^CDx và ^BDC bù nhau)

Hay DS là phân giác của ^BDC. Lại có ^BDC là góc nội tiếp đuờng tròn đi qua B,D,O,C

=> S là điểm chính giữa (BC không chứa O của đuờng tròn (BOC)

Vì B,O,C cố định nên điểm chính giữa (BC không chứa O của (BOC) cố định => S cố định

Vậy AD luôn đi qua S cố định (đpcm).

a: Xét tứ giác AMBO có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMBO là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

c: Gọi H là giao điểm của OM và AB

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

H là trung điểm của AB

=>\(AH=HO=\frac{AB}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔOAH vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HO\cdot HM=HA^2=4^2=16\)

HO+HM=OM

=>\(HO+HM=\frac{25}{3}\)

mà HO*HM=16

nên HO,HM là các nghiệm của phương trình:

\(A^2-\frac{25}{3}A+16=0\)

=>\(3A^2-25A+48=0\)

=>\(3A^2-9A-16A+48=0\)

=>(A-3)(3A-16)=0

=>A=3 hoặc A=16/3

TH1: A=3

=>HO=3cm

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OA^2=\frac{25}{3}\cdot3=25=5^2\)

=>R=5(cm)

TH2: A=16/3

=>HO=16/3

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(R^2=\frac{16}{3}\cdot\frac{25}{3}=\frac{400}{9}=\left(\frac{20}{3}\right)^2\)

=>R=20/3(cm)

a: góc OAM+góc OBM=180 độ

=>OAMB nội tiếp

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA/MD=MC/MA

=>MA^2=MD*MC

6C

7B

8D

9C

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

bn tk hen:

Tham khảo: