Do G thuộc y=x nên tọa độ G có dạng: \(G\left(g;g\right)\)

Do C thuộc \(x+y+4=0\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;-c-4\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+1+c=3.g\\0+2-c-4=3g\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3g=0\\-c-3g=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\g=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(-1;-3\right)\)

Biết tọa độ 3 đỉnh, dễ dàng viết pt các cạnh

2x - 7y - 5 = 0 và 3x + 4y - 22 = 0

Hoc24 lại cứ thách đố học sinh 

MAX hại não với một học sinh lớp 7.

BC : x-4y-1=0, CA : x+2y-7=0 và AB : x-y+2=0

Cho tam giác abc có tọa độ A(-2;3) pt đường trung tuyến BM 2x-y+1=0 và CN x+y-4=0 M,N lần lượt là trung điểm AC và AB .TÌM tọa độ B

a: BC: x+y+4=0

=>AH: -x+y+c=0

Thay x=-1 và y=-2 vào AH, ta được:

c+1-2=0

=>c=1

=>-x+y+1=0

=>x-y-1=0

b: BC: x+y+4=0

=>B(x;-x-4)

Tọa độ M là:

xM=(x-1)/2 và yM=(-x-4-2)/2=(-x-6)/2

BC: x+y+4=0

=>MN: x+y+c=0

Thay xM=(x-1)/2 và yM=(-x-6)/2 vào MN, ta được:

\(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{-x-6}{2}+c=0\)

=>c+(1/2x-1/2-1/2x-3)=0

=>c=7/2

=>x+y+7/2=0

A B C P(1,2;5,6)

Điểm P có tọa độ \(\left(\frac{5}{6};\frac{28}{5}\right)\). Đặt \(\widehat{ABC}=\alpha\). Do tam giác ABC cân tại A nên \(\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) do đó \(\alpha=\left(\widehat{AB,BC}\right)=\left(\widehat{BC,CA}\right)\)

và \(\cos\alpha=\frac{\left|4.1+\left(-1\right).\left(-2\right)\right|}{\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\frac{6}{\sqrt{5.17}}\)

Do đó bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua \(P\left(\frac{6}{5};\frac{28}{7}\right)\) không song song với AB, tạo với BC góc \(\alpha\) mà \(\cos\alpha=\frac{6}{\sqrt{5.17}}\) (1)

Đường thẳng AC cần tìm có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\) và \(a\ne-4b\) (do AC không cùng phương với AB). Từ đó và (1) suy ra :

\(\frac{6}{\sqrt{5.17}}=\frac{\left|a-2b\right|}{\sqrt{5}.\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow6\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{17}.\left|a-2b\right|\)

                              \(\Leftrightarrow19a^2+68ab-32b^2=0\)

                              \(\Leftrightarrow\left(a+4b\right)\left(19a-8b\right)=0\)

                              \(\Leftrightarrow19a=8b\) (do \(a\ne-4b\) (2)

Từ (2) và do \(a^2+b^2\ne0\), chọn a=40, b=95 được phương trình đường thẳng AC cần tìm là \(40\left(x-\frac{6}{5}\right)+95\left(y-\frac{28}{5}\right)=0\) hay \(8x+19y-116=0\)

M là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_M=-2\\y_A+y_B=2\cdot y_M=-2\end{matrix}\right.\)(1)

N là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_N=2\\y_B+y_C=2\cdot y_N=2\cdot9=18\end{matrix}\right.\)(2)

P là trung điểm của AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot9=18\\y_A+y_C=2\cdot1=2\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\x_B+x_C=2\\x_C+x_A=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\\-2-x_B+2-x_B=18\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x_B=18\\x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=-9\\x_A=-2-\left(-9\right)=7\\x_C=2-\left(-9\right)=11\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=-2\\y_B+y_C=18\\y_A+y_C=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\\-2-y_B+18-y_B=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2y_B=2+2-18=4-18=-14\\y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=7\\y_A=-2-7=-9\\y_C=18-7=11\end{matrix}\right.\)

vậy: A(7;-9); B(-9;7)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-16;16\right)\)

=>VTPT là (16;16)=(1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

\(1\left(x-7\right)+1\left(y+9\right)=0\)

=>x-7+y+9=0

=>x+y+2=0

\(\overrightarrow{NP}=\left(8;-8\right)=8\left(1;-1\right)\)

Do N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA \(\Rightarrow\) NP là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow NP||AB\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vecto pháp tuyến

Phương trình AB qua M có dạng:

\(1\left(x+1\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\)

M là trung điểm của BC

=>\(x_{B}+x_{C}=2\cdot x_{M}=4;y_{B}+y_{C}=2\cdot y_{M}=2\cdot3=6\) (3)

N là trung điểm của AC

=>\(x_{A}+x_{C}=2\cdot x_{N}=2\cdot4=8;y_{A}+y_{C}=2\cdot y_{N}=2\cdot\left(-1\right)=-2\) (2)

P là trung điểm của AB

=>\(x_{A}+x_{B}=2\cdot x_{P}=2\cdot\left(-3\right)=-6;y_{A}+y_{B}=2\cdot y_{P}=2\cdot5=10\) (1)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}=4\\ x_{A}+x_{C}=8\\ x_{A}+x_{B}=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}+x_{C}-x_{A}-x_{C}=4-8=-4\\ x_{A}+x_{B}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x_{B}-x_{A}=-4\\ x_{B}+x_{A}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}=\frac{\left(-4\right)+\left(-6\right)}{2}=-\frac{10}{2}=-5\\ x_{A}=-6-x_{B}=-6-\left(-5\right)=-6+5=-1\\ x_{C}=8-x_{A}=8-\left(-1\right)=9\end{cases}\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}y_{B}+y_{C}=6\\ y_{A}+y_{C}=-2\\ y_{A}+y_{B}=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}+y_{C}-y_{A}-y_{C}=6-\left(-2\right)\\ y_{A}+y_{B}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\)

=>\(\)\(\begin{cases}y_{B}-y_{A}=8\\ y_{B}+y_{A}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}=\frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9\\ y_{A}=10-y_{B}=10-9=1\\ y_{C}=-2-1=-3\end{cases}\)

Vậy: A(-1;1); B(-5;9); C(9;-3)

B(-5;9); C(9;-3)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(9+5;-3-9\right)=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (6;7)

Phương trình đường thẳng BC là:

6(x+5)+7(y-9)=0

=>6x+30+7y-63=0

=>6x+7y-33=0

Vì \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)

nên phương trình đường trung trực của BC sẽ đi qua trung điểm M(2;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\) làm vecto pháp tuyến

phương trình đường trung trực của BC là:

7(x-2)+(-6)(y-3)=0

=>7x-14-6y+18=0

=>7x-6y+4=0

A(-1;1); C(9;-3)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(9+1;-3-1\right)=\left(10;-4\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (4;10)=(2;5)

Phương trình đường thẳng AC là:

2(x+1)+5(y-1)=0

=>2x+2+5y-5=0

=>2x+5y-3=0

Vì \(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

nên phương trình đường trung trực của AC sẽ đi qua trung điểm N(4;-1) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\) làm vecto pháp tuyến

phương trình đường trung trực của AC là:

5(x-4)+(-2)(y+1)=0

=>5x-20-2y-2=0

=>5x-2y-22=0

A(-1;1); B(-5;9)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-5+1;9-1\right)=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;1)

=>Phương trình đường thẳng AB sẽ đi qua B(-5;9) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AB là:

2(x+5)+1(y-9)=0

=>2x+10+y-9=0

=>2x+y+1=0

Vì \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\)

nên phương trình đường trung trực của AB sẽ đi qua trung điểm P(-3;5) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

-1(x+3)+2(y-5)=0

=>-x-3+2y-10=0

=>-x+2y-13=0

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)

B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)

C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)