ta có \(n^2+3n=n\left(n+3\right)\)

+ Nếu n lẻ thì n+3 chẵn suy ra n(n+3) chia hết cho 2

suy ra \(n^2+3n⋮2\)

+nếu n chẵn thì n(n+3) chia hết cho2

suy ra \(n^2+3n\) chia hết cho 2

Với n=3k ta có 3k(3k+1)(3k+5) chia hết cho 3

Với n=3k+1 ta có (3k+1)(3k+2)(3k+6)=3(3k+1)(3k+2)(k+2) chia hết cho 3

Với n=3k+2 ta có (3k+2)(3k+3)(3k+7)=3(3k+2)(k+1)(3k+7) chia hết cho 3. Từ đó ta có đpcm

a, chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n+3).(n+6) chia hết cho 2

Giải:

A = (n + 3)(n + 6)

Xét hiệu hai số: (n + 6) và (n - 3) ta có:

(n + 6) - (n + 3) = n + 6 - n - 3 = (n - n) + (6 - 3) = 0 + 3 = 3

Vì 3 là số lẻ nên hiệu hai số là số lẻ thì hai số khác tính chẵn lẻ, nhất định một trong hai số phải có một số là số chẵn. Số chẵn thì chia hết cho 2.

Vậy A chia hết cho 2(đpcm)

Câu b: A = n(n + 5)

Xét hiệu hai số: (n + 5) và n ta có:

(n + 5) - n = n + 5 - n = (n - n) + 5 = 0 + 5 = 5

Vì 5 là số lẻ nên hiệu hai số là số lẻ thì hai số khác tính chẵn lẻ, nhất định một trong hai số phải có một số là số chẵn. Số chẵn thì chia hết cho 2.

Vậy A chia hết cho 2(đpcm)

\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=\left(1+1+...+1\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=n-1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)

Lại có \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+..+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow S>n-1-1=n-2\\ \Rightarrow n-2< S< n-1\\ \Rightarrow S\notin N\)

1) +Với n là số chẵn => n+3 lẻ và n+6 chẵn. Vì 1 số chẵn và 1 số lẻ nhân với nhau tạo thành số chẵn hay tích đó chia hết cho 2 ( đpcm)

     +Với n là số lẻ => n+3 chẵn và n+6 lẻ ( tương tự câu trên)

2)Tg tự câu a

1 + 1 = 

em can gap!!!

Nhanh e k cho

\(A=\left(n+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010-2010+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left[\left(n+2010\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\right]\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên (n+2010) và (n+2011) là 2 số tự nhiên  => (n+2010)(n+2011) chia hết cho 2 

( vì tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2) 

Mặt khác dễ thấy 2010-2010^11 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)⋮2\) ( Với mọi n \(\in\)N )

Ta có:

\(60n+45\)

\(=15\left(4n+3\right)⋮15\)

Mà \(4n+3\)không chia hết cho 2

\(\Rightarrow15\left(4n+3\right)\)không chia hết cho 30

Ta có: \(60n+45=15(4n+3) \vdots 15\)

 Ta lại có vì \(60n\vdots 30\) mà \(45 \not\vdots30 \Rightarrow 60n+45 \not\vdots 30\)

Gọi ƯCLN(3n + 7 , 2n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(3n+7\right)⋮d\\3.\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n+14⋮d\\6n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+14\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)

Nếu d = 5

Mà \(2n+3\)tận cùng là số lẻ (1)

=> 2n + 3 \(⋮\)5 (2)

Từ (1) và (2) => 2n + 3 = ....5  \(⋮\)5 (3)

mà 3n + 7 tận cùng là chẵn hoặc lẻ 

=> 3n + 7 = ...5 \(⋮\)5 (4)

Từ (3) và (4)

=> \(\frac{3n+7}{2n+3}\)là phân số chưa tối giản

VD : nếu n = 6 

=> \(\frac{3n+7}{2n+3}=\frac{3.6+7}{2.6+3}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\)

Điều này không thể chứng minh

                                                                 Bài giải

                Gọi d = ƯCLN ( 3n + 7 , 2n + 3 ) 

\(\Rightarrow\text{ }3n+7\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }2\left(3n+7\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+14\text{ }⋮\text{ }d\)

       \(2n +3\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }3\left(2n+3\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+9\text{ }⋮\text{ }d\)

\(\Rightarrow\text{ }6n +14-\left(6n+9\right)\text{ }⋮\text{ }d\)

       \(6n+14-6n-9\text{ }⋮\text{ }d\)

 \(\Rightarrow\text{ }5\text{ }⋮\text{ }d\)

\(\Rightarrow\text{ }d\in\left\{1\text{ ; }5\right\}\)

Ta xét hai trường hợp :

TH1 : n lẻ => 3n + 7 chẵn

TH2 : n chẵn => 2n + 3 lẻ 

=> Nếu \(d=5\) thì : 

    3n + 7 = 0    =>  n = \(-\frac{7}{3}\notin N\)

     2n + 3 = 5    => n = \(1\)

Vậy \(d=1\)

\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)

1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n^2+n+1 không chia hết cho 5

Giải:

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên(Đpcm)

2. Chứng tỏ rằng số A = 9^11 +1 chia hết cho cả 2 và 5

A = (9\(^2\))\(^5\).9 + 1

A = \(\overline{..1}^5\).9 + 1

A = \(\overline{..9}\) + 1

A = \(\overline{..0}\)

A chia hết cho 2 và 5 (đpcm)

6^2n + 19^n - 2^n+1 = 6^2n + 19^n - 2.2^n = 36^n - 2^n + 19^n -2^n = (36-2) + (19-2)  = 34 + 17

Vì 34 và 17 đều chia hết cho 17. Suy ra 34 + 17 chia hết cho 17. Suy ra M chia hết cho 17