ta có \(n^2+3n=n\left(n+3\right)\)

+ Nếu n lẻ thì n+3 chẵn suy ra n(n+3) chia hết cho 2

suy ra \(n^2+3n⋮2\)

+nếu n chẵn thì n(n+3) chia hết cho2

suy ra \(n^2+3n\) chia hết cho 2

Với n=3k ta có 3k(3k+1)(3k+5) chia hết cho 3

Với n=3k+1 ta có (3k+1)(3k+2)(3k+6)=3(3k+1)(3k+2)(k+2) chia hết cho 3

Với n=3k+2 ta có (3k+2)(3k+3)(3k+7)=3(3k+2)(k+1)(3k+7) chia hết cho 3. Từ đó ta có đpcm

\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=\left(1+1+...+1\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=n-1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)

Lại có \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+..+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow S>n-1-1=n-2\\ \Rightarrow n-2< S< n-1\\ \Rightarrow S\notin N\)

1) +Với n là số chẵn => n+3 lẻ và n+6 chẵn. Vì 1 số chẵn và 1 số lẻ nhân với nhau tạo thành số chẵn hay tích đó chia hết cho 2 ( đpcm)

     +Với n là số lẻ => n+3 chẵn và n+6 lẻ ( tương tự câu trên)

2)Tg tự câu a

1 + 1 = 

em can gap!!!

Nhanh e k cho

\(A=\left(n+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010-2010+2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left[\left(n+2010\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\right]\left(n+2011\right)\)

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên (n+2010) và (n+2011) là 2 số tự nhiên  => (n+2010)(n+2011) chia hết cho 2 

( vì tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2) 

Mặt khác dễ thấy 2010-2010^11 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2 

=> \(A=\left(n+2010\right)\left(n+2011\right)-\left(2010-2010^{2011}\right)\left(n+2011\right)⋮2\) ( Với mọi n \(\in\)N )

Ta có:

\(60n+45\)

\(=15\left(4n+3\right)⋮15\)

Mà \(4n+3\)không chia hết cho 2

\(\Rightarrow15\left(4n+3\right)\)không chia hết cho 30

Ta có: \(60n+45=15(4n+3) \vdots 15\)

 Ta lại có vì \(60n\vdots 30\) mà \(45 \not\vdots30 \Rightarrow 60n+45 \not\vdots 30\)

Gọi ƯCLN(3n + 7 , 2n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2.\left(3n+7\right)⋮d\\3.\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n+14⋮d\\6n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+14\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)

Nếu d = 5

Mà \(2n+3\)tận cùng là số lẻ (1)

=> 2n + 3 \(⋮\)5 (2)

Từ (1) và (2) => 2n + 3 = ....5  \(⋮\)5 (3)

mà 3n + 7 tận cùng là chẵn hoặc lẻ 

=> 3n + 7 = ...5 \(⋮\)5 (4)

Từ (3) và (4)

=> \(\frac{3n+7}{2n+3}\)là phân số chưa tối giản

VD : nếu n = 6 

=> \(\frac{3n+7}{2n+3}=\frac{3.6+7}{2.6+3}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\)

Điều này không thể chứng minh

                                                                 Bài giải

                Gọi d = ƯCLN ( 3n + 7 , 2n + 3 ) 

\(\Rightarrow\text{ }3n+7\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }2\left(3n+7\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+14\text{ }⋮\text{ }d\)

       \(2n +3\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }3\left(2n+3\right)\text{ }⋮\text{ }d\text{ }\Rightarrow\text{ }6n+9\text{ }⋮\text{ }d\)

\(\Rightarrow\text{ }6n +14-\left(6n+9\right)\text{ }⋮\text{ }d\)

       \(6n+14-6n-9\text{ }⋮\text{ }d\)

 \(\Rightarrow\text{ }5\text{ }⋮\text{ }d\)

\(\Rightarrow\text{ }d\in\left\{1\text{ ; }5\right\}\)

Ta xét hai trường hợp :

TH1 : n lẻ => 3n + 7 chẵn

TH2 : n chẵn => 2n + 3 lẻ 

=> Nếu \(d=5\) thì : 

    3n + 7 = 0    =>  n = \(-\frac{7}{3}\notin N\)

     2n + 3 = 5    => n = \(1\)

Vậy \(d=1\)

\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)

6^2n + 19^n - 2^n+1 = 6^2n + 19^n - 2.2^n = 36^n - 2^n + 19^n -2^n = (36-2) + (19-2)  = 34 + 17

Vì 34 và 17 đều chia hết cho 17. Suy ra 34 + 17 chia hết cho 17. Suy ra M chia hết cho 17