a: Xét tứ giác AHCM có 

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của HM

Do đó: AHCM là hình bình hành

mà \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCM là hình chữ nhật

a: Ta có: EH⊥AC

AB⊥CA

DO đó; EH//AB

=>EH//AF

Ta có: HF⊥AB

AC⊥BA

DO đó: HF//AC

=>HF//AE

Xét ΔEHA vuông tại E và ΔFAH vuông tại F có

HA chung

\(\hat{EHA}=\hat{FAH}\) (hai góc so le trong, EH//FA)

Do đó: ΔEHA=ΔFAH

=>\(\hat{EAH}=\hat{FHA}\)

mà \(\hat{FHA}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{EAH}=\hat{ABC}\)

Gọi O là giao điểm của EF và AH

ΔEHA=ΔFAH

=>EA=FH; EH=FA

Xét ΔHEA vuông tại E và ΔFAE vuông tại A có

HE=FA

EA chung

DO đó: ΔHEA=ΔFAE

=>\(\hat{FEA}=\hat{HAE}\)

=>\(\hat{FEA}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AEF}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥EF
b: ΔMAB cân tại M

mà MN là đường trung tuyến

nên MN⊥AB tại N

Xét ΔMAB có

MN,AH là các đường cao

MN cắt AH tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔMAB

=>BD⊥AM

mà AM⊥EF
nên BD//EF

a: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

=>ADME là hình chữ nhật

b; Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBI là hình thoi

c: AMBI là hình vuông

=>góc AMB=90 độ

Xét ΔABC có

AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$HB.HC=AH^2(1)$

Mặt khác:

$M,N$ là trung điểm $AC,HC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $AHC$ ứng với cạnh $AH$

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AH$ hay $AH=2MN(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow HB.HC=AH^2=(2MN)^2=4MN^2$ 

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

D là trung điểm của AB

DO đó: MD là đường trung bình

=>MD//CE và MD=CE

hay CMDE là hình bình hành

Gợi ý câu c)

Bước 1: c/m tam giác DHE vuông tại H =>AK vuông góc với HE

Có DH=1/2 AB; HE=1/2 AC;DE=1/2 BC; AB²+AC²=BC²

Bước 2: c/m K là trực tâm của tam giác AHE