Chọn B.

Ta có: u₁ = 1; u₂ = 3/2; u₃ = 17/6; u₄ = 227/34.

Ta chứng minh u_n > 0 bằng quy nạp.

Giả sử u_n > 0, khi đó: 

Nên .

Chọn A

Phương pháp:

Cách giải: Ta có:

u n + 1 = n = - 4 ( u n + n - 1 )

⇔ u n + 1 + n = - 4 ( u n + n - 1 )

⇔ v n = u n + n - 1 v n + 1 = - 4 v n

Dãy ( v n )  là cấp số nhân với công bội -4 và  v 1 = u 1 + 0 = 2

S = u 2018 - 2 u 2017

= v 2018 - 2 v 2017 + 2015

= 2015 - 3 . 4 2017

Đáp án A

Ta có:

u n + 1 + 4 u n = 4 − 5 n ⇔ u n + 1 = − 4 u n − 5 n + 4 ⇔ u n + 1 + n = − 4 u n + n − 1    * .  

Đặt v n + 1 = u n + 1 + n suy ra v n = u n + n − 1 , khi đó * ⇔ v n + 1 = − 4 v n  

Do đó v n là cấp số nhân với công bội  q = − 4 ⇒ v n = − 4 n − 1 v 1

Mà v 1 = u 1 = 2 nên suy ra  v n = 2. − 4 n − 1 → u n = 2. − 4 n − 1 − n + 1

Vậy:

S = u 2018 − 2 u 2017 = 2. − 4 2017 − 2017 − 2 2. − 4 2016 − 2016 = 2015 − 3.4 2017 .

Chọn A.

Phương pháp:

Cách giải: Ta có:

Đáp án A

Ta có: \(u_{n+1} - u_n - 2 + 8u_{n+1} - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} - u_n - 2 - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} = u_n + 2 + 2\sqrt{4u_n + 1}\) (1)

Đặt \(x_{n}=\sqrt{4u_n + 1}\left(x_{n}\ge0\right)\) , khi đó ta có:

\(4u_{n}=x_{n}^2-1\)

=>\(u_{n}=\frac{x_n^2 - 1}{4}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có: \(u_{n+1} = \frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\)

(1) sẽ trở thành: \(9\left(\frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\right) = \frac{x_n^2 - 1}{4} + 2 + 2x_n\)

=>\(9(x_{n+1}^2 - 1) = x_n^2 - 1 + 8 + 8x_n\)

=>\(9x_{n+1}^2 - 9 = x_n^2 + 8x_n + 7\)

=>\(9x_{n+1}^2 = x_n^2 + 8x_n + 16\)

=>\(9x_{n+1}^2 = (x_n + 4)^2\)

=>\(3x_{n+1}=x_{n}+4\)

=>\(x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\)

\(x_1=\sqrt{4u_1 + 1}=\sqrt{4\cdot2+1}=\sqrt{9}=3\)

Đặt \(a=\frac13a+\frac43\)

=>\(\frac23a=\frac43\)

=>a=2

Đặt dãy số phụ \(y_n = x_n - 2\) , ta sẽ có:

\(y_{n+1}=x_{n+1}-2\)

\(=\left(\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\right)-2\)

\(=\frac{1}{3}x_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(x_{n}-2)=\frac{1}{3}y_{n}\)

Do đó: \(\left(y_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội là q=1/3; số hạng đầu là: \(y_1=x_1-2=3-2=1\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(y_{n}\right)\) là:

\(y_n = y_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(x_{n}\right)\) là:

\(x_n = y_n + 2 = \frac{1}{3^{n-1}} + 2 = \frac{2 \cdot 3^{n-1} + 1}{3^{n-1}}\)

\(u_{n}=\frac{\left(2 + \frac{1}{3^{n-1}}\right)^2 - 1}{4}\)

\(=\frac{4 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}} - 1}{4}=\frac{3 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}}}{4}\)

\(=\frac{3 \cdot3^{2n-2} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

\(=\frac{3^{2n-1} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

Đặt \(u_n=v_n+1\Rightarrow v_{n+1}+1=\dfrac{2017+v_n+1}{2019-\left(v_n+1\right)}=\dfrac{2018+v_n}{2018-v_n}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=\dfrac{2018+v_n}{2018-v_n}-1=\dfrac{2v_n}{2018-v_n}\Rightarrow\dfrac{1}{v_{n+1}}=1009\dfrac{1}{v_n}-\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{v_n}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1}{v_1}=\dfrac{1}{u_1-1}=1\\x_{n+1}=1009x_n-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_{n+1}-\dfrac{1}{2016}=1009\left(x_n-\dfrac{1}{2016}\right)\)

\(\Rightarrow x_n-\dfrac{1}{2016}\) là CSN với công bội 1009 \(\Rightarrow x_n-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}.1009^{n-1}\)

\(\Rightarrow x_n=\dfrac{2015}{2016}1009^{n-1}+\dfrac{1}{2016}\) 

\(\Rightarrow u_n=v_n+1=\dfrac{1}{x_n}+1=\dfrac{2016}{2015.1009^{n-1}+1}+1\)

\(\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=1\)