a) Ta có: BM=2MC(gt)

nên \(\dfrac{MC}{BM}=\dfrac{1}{2}\)(1)

Ta có: NA=2NC(gt)

nên \(\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{1}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{CM}{MB}=\dfrac{CN}{NA}\)

Xét ΔCAB có 

N∈AC(gt)

M∈BC(gt)

\(\dfrac{CM}{MB}=\dfrac{CN}{NA}\)(cmt)

Do đó: MN//AB(Định lí Ta lét đảo)

A C B M N

Nối M với C:

SAMC=SBMC=\(\dfrac{1}{2}\)SABC(Vì chung đường cao hạ từ C, đáy AM=MB)

SAMC=240:2=120cm²

SAMN=\(\dfrac{1}{2}\)SMNC(Vì chung đường cao hạ từ M, đáy AN=\(\dfrac{1}{2}\)NC)

Suy ra:SAMN=\(\dfrac{1}{3}\)SAMC

SAMN=120:3=40cm²

Tham khảo

S AMN= 1/2 S ABN ( cùng đường cao, đáy AM = 1/2 AB )

S ABN = 1/3 S ABC ( cùng đường cao , đáy AN = 1/3 AC )

S AMN = 1/2 x 1/3  S ABC  = 1/6 SABC = 240 : 6  = 40 cm2

Để tính độ dài AM, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Định lý này cho biết rằng trong một tam giác vuông, bình phương của độ dài cạnh huyền (đường chéo dài nhất) bằng tổng bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông.

Trong trường hợp này, ta có AB = AC = a và BM = BC/√3. Để tìm độ dài AM, ta cần tìm độ dài cạnh còn lại của tam giác ABC.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: AM^2 + BM^2 = AB^2

Thay các giá trị đã biết vào, ta có: AM^2 + (BC/√3)^2 = a^2

Giải phương trình trên, ta có thể tính được độ dài AM.

Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MA=MD

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=CD

Xét ΔCAD có CA-CD<AD<CA+CD

=>CA-AB<2AM<CA+AB

=>\(\frac{AC-AB}{2} (ĐPCM)

AN=2NC

=>\(S_{ABN}=2\cdot S_{BNC}=200\left(m^2\right)\)

=>\(S_{BMN}=\dfrac{1}{4}\cdot200=50\left(m^2\right)\)

=>\(S_{MNCB}=150\left(m^2\right)\)

bạn có thể giải thích cách làm được không ạ? mình nhìn vẫn chưa hiểu lắm ý... 

Xét ΔABC có 

M∈AB(gt)

N∈AC(gt)

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)(gt)(1)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

Suy ra: MK//BI và NK//CI

Xét ΔABI có 

M∈AB(gt)

K∈AI(gt)

MK//BI(Gt)

Do đó: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MK}{BI}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔACI có 

K∈AI(gt)

N∈AC(gt)

KN//IC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{KN}{IC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}\)

mà BI=CI(I là trung điểm của BC)

nên MK=NK(đpcm)

a: CP+PA=CA

=>\(AP=AC-CP=AC-\frac13\times AC=\frac23\times AC\)

Ta có: AM+MB=AB

=>\(BM=AB-AM=AB-\frac13\times AB=\frac23\times AB\)

BN+NC=BC

=>\(CN=BC-BN=BC-\frac13\times BC=\frac23\times BC\)

Ta có: \(AP=\frac23\times AC\)

=>\(S_{ABP}=\frac23\times S_{ABC}\)

Ta có: \(AM=\frac13\times AB\)

=>\(S_{AMP}=\frac13\times S_{ABP}=\frac13\times\frac23\times S_{ABC}=\frac29\times S_{ABC}=\frac29\times1440=320\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(BN=\frac13\times BC\)

=>\(S_{ANB}=\frac13\times S_{ABC}\)

Ta có: \(BM=\frac23\times BA\)

=>\(S_{BMN}=\frac23\times S_{BAN}=\frac23\times\frac13\times S_{ABC}=\frac29\times S_{ABC}=320\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

TA có: \(CN=\frac23\times CB\)

=>\(S_{ANC}=\frac32\times S_{ABC}\)

TA có: \(CP=\frac13\times CA\)

=>\(S_{CNP}=\frac13\times S_{CNA}=\frac13\times\frac23\times S_{ABC}=\frac29\times S_{ABC}=320\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Ta có: \(S_{AMP}+S_{BMN}+S_{CPN}+S_{MNP}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MNP}=1440-320-320-320=1440-960=480\left(\operatorname{cm}^2\right)\)