Bài 4: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=21^2+28^2=441+784=1225=35^2\)

=>BC=35(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{21^2}{35}=12,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}\)

=>\(\frac{BD}{21}=\frac{CD}{28}\)

=>\(\frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}\)

mà BD+CD=BC=35cm

nen Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}=\frac{BD+CD}{3+4}=\frac{35}{7}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(BD=3\cdot5=15\left(\operatorname{cm}\right)\)

Vì BH<BD

nên H nằm giữa B và D

=>BH+HD=BD

=>HD=15-12,6=2,4(cm)

Bài 3:

BH/CH=9/16

=>\(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}\)

Đặt \(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}=k\)

=>BH=9k; CH=16k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(9k\cdot16k=48^2\)

=>\(k^2=\frac{48^2}{144}=16=4^2\)

=>k=4

=>\(BH=9\cdot4=36\left(\operatorname{cm}\right);CH=16\cdot4=64\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+CH

=36+64=100(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BA^2=36\cdot100=3600=60^2\)

=>BA=60(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=100^2-60^2=6400=80^2\)

=>AC=80(cm)

Bài 2: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC;CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH}{CH}\)

=>\(\frac{BH}{CH}=\left(\frac37\right)^2=\frac{9}{49}\)

=>\(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{49}=k\)

=>BH=9k; CH=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot CH=AH^2\)

=>\(9k\cdot49k=42^2\)

=>\(k^2=4=2^2\)

=>k=2

=>BH=9*2=18(cm); CH=49*2=98(cm)

a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBKE vuông tại K có

BE chung

góc ABE=góc KBE

=>ΔBAE=ΔBKE

b: Gọi giao của CD và AB là M

Xét ΔBMC có

BD,CAlà đường cao

BD cắt CA tại E

=>E là trực tâm

=>ME vuông góc BC

=>M,E,K thẳng hàng

=>BA,KE,CD đồng quy

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

b: Xét ΔABD và ΔCBE có

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBE}\)(BE là phân giác của góc ABC)

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔABD~ΔCBE

a) Vì ΔABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠BAE=90⁰

⇒ ΔBAE vuông tại A

 Vì EH⊥BC (gt)

⇒ ΔBEH và ΔCHE vuông tại H

Xét tam giác vuông BAE và tam giác vuông BHE có:

Cạnh BE chung

∠BEA=∠BEH (BE là tia phân giác ∠ABC)

⇒ ΔBAE=ΔBHE (cạnh huyền - góc nhọn)

Vậy ΔBAE=ΔBHE

b) Vì ΔBAE=ΔBHE (cmt)

⇒ BA=BE (2cạnh tương ứng) 

⇒ AE=HE (2cạnh tương ứng) (1)

⇒ B,E thuộc đường trung trực của AH

⇒ Đường thẳng BE thuộc đường trung trực của ẠH

Vậy đường thẳng BE thuộc đường trung trực của ẠH

c) Xét tam giác EHC vuông tại E có:

EC>EH (DC là cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ EC>AE

Vậy EC>AE

Bạn ơi đề bài cho ko rõ. Nên mik ko bt làm sao đc.????

b: Xét ΔABC vuông tại B có 

\(BA^2+BC^2=AC^2\)

hay \(BC=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AE\cdot AC\\BC^2=CE\cdot CA\\BE\cdot AC=BA\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=1.5\left(cm\right)\\CE=4.5\left(cm\right)\\BE=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

1) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BH\cdot BC\)

a: Gọi M là giao điểm của AF và HC

Ta có: \(\hat{BAM}+\hat{CAM}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BMA}+\hat{MAH}=90^0\) (ΔHAM vuông tại H)

mà \(\hat{CAM}=\hat{MAH}\)

nên \(\hat{BAM}=\hat{BMA}\)

=>ΔBAM cân tại B

ΔBAM cân tại B

mà BE là đường phân giác

nên BE⊥AM

b: Gọi N là giao điểm của AE và HB

ta có: \(\hat{BAN}+\hat{CAN}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{CNA}+\hat{HAN}=90^0\) (ΔHAN vuông tại H)

mà \(\hat{BAN}=\hat{HAN}\)

nên \(\hat{CAN}=\hat{CNA}\)

=>ΔCAN cân tại C

mà CK là đường phân giác

nên CK⊥AE

=>FK⊥AE

Ta có: BK⊥AM

=>EK⊥AM

Xét ΔAEF có

FK,EK là các đường cao

FK cắt EK tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔAEF

=>AK⊥EF