a: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔABN và ΔACM có

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

AN=AM

Do đó: ΔABN=ΔACM

SUy ra: BN=CM

c: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

bn tự vẽ nha :

a, Xét \(\Delta ADE\)

 có \(AD=AE\left(gt\right)\)

 \(\Rightarrow\Delta ADE\) là tam giác cân

b, Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có :

 \(AB=AD\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\) ( đối đỉnh )

\(AC=AE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ADE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDA}=\widehat{ACB}\) ( hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow ED\)//\(BC\)

Hai tam giác ABN và ACM bằng nhau (\(\widehat{A}\) chung; AB=AC; \(\widehat{ABN}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{ACM}\))

\(\Rightarrow AM=AN\) \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow MN||BC\)

Áp dụng định lý phân giác: \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{AM}{AM+BM}=\dfrac{AC}{AC+BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AC+BC}=\dfrac{a}{a+b}\)

Theo cmt MN//BC, áp dụng định lý Talet:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{a}{a+b}\Rightarrow MN=\dfrac{ab}{a+b}\)

tu ve hinh : 

xet tamgiac BAM va tamgiac DAM co : AM chung

goc BAM = goc MAD do AM la phan giac cua goc BAC  (gt)

AB = AD (gt)

=> tamgiac BAM = tamgiac DAM  (c - g - c)

=> BM = MD (dn) (1)

b, xet tamgiac DAK va tamgiac BAC co ; goc A chung

AB = AD (gt)

 (1) => goc ABC = goc ADK (dn)

=> tamgiac DAK = tamgiac BAC (g - c - g)

làm nốt hộ mk phần c ik các bạn

a; Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: BM=CN

b: Ta có: ΔABM=ΔACN

nên AM=AN 

hay ΔAMN cân tại A

Bạn tự vẽ hình nhé ^ ^ 

a/ Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Leftrightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)

Xét \(\Delta BCN;\Delta CBM\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{C}\\BCchung\\\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta BCN=\Delta CBM\left(ch-gn\right)\)

\(\Leftrightarrow BM=CN\)

b/ Xét \(\Delta ABM;\Delta ACN\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}chung\\\widehat{BMA}=\widehat{ANC}=90^0\\BM=CN\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(ch-gn\right)\)

\(\Leftrightarrow AM=AN\)

\(\Leftrightarrow\Delta AMN\) cân

a: Ta có: \(AH=HB=\frac{AB}{2}\)

\(AI=IC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AH=HB=AI=IC

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIA vuông tại I có

OA chung

AH=AI

Do đó: ΔOHA=ΔOIA

=>OH=OI

OH+HM=OM

OI+IN=ON

mà OH=OI và OM=ON

nên HM=IN

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAIN vuông tại I có

AH=AI

HM=IN

Do đó: ΔAHM=ΔAIN

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO⊥MN

b: OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA=R

=>ΔAMO đều

ΔAMO đều

mà AH là đường cao

nên AH là phân giác của góc MAO

=>\(\hat{MAH}=\hat{HAO}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

ΔAHO=ΔAIO

=>\(\hat{HAO}=\hat{IAO}\)

=>AO là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{HAO}=2\cdot30^0=60^0\)

a: Ta có: \(AH=HB=\frac{AB}{2}\)

\(AI=IC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AH=HB=AI=IC

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIA vuông tại I có

OA chung

AH=AI

Do đó: ΔOHA=ΔOIA

=>OH=OI

OH+HM=OM

OI+IN=ON

mà OH=OI và OM=ON

nên HM=IN

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAIN vuông tại I có

AH=AI

HM=IN

Do đó: ΔAHM=ΔAIN

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO⊥MN

b: OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA=R

=>ΔAMO đều

ΔAMO đều

mà AH là đường cao

nên AH là phân giác của góc MAO

=>\(\hat{MAH}=\hat{HAO}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

ΔAHO=ΔAIO

=>\(\hat{HAO}=\hat{IAO}\)

=>AO là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{HAO}=2\cdot30^0=60^0\)