Góc AIB = 180 độ - 1/2 BAC - ABI
Góc AIC = 180 độ - 1/2 BAC - ACI
⇒ AIB + AIC = 180 độ - BAC - (ABI + ACI)
Giả sử B, I, C thẳng hàng
⇒BIC = 180 độ = AIB + AIC
→360 độ - BAC - (ABI + ACI) = 180 độ
ABI + ACI = 180 độ - BAC (LĐ)
Vậy điều giả sử là đúng
⇒B, I, C thẳng hàng

Gọi M là giao điểm của AI và BC

Kẻ ME⊥AC tại E, MF⊥AB tại F, MG⊥OB tại G

Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\hat{EAM}=\hat{FAM}\)

Do đó: ΔAEM=ΔAFM

=>ME=MF(1)

Xét ΔBFM vuông tại F và ΔBGM vuông tại G có

BM chung

\(\hat{FBM}=\hat{GBM}\)

Do đó: ΔBFM=ΔBGM

=>MF=MG(2)

Từ (1),(2) suy ra ME=MG

Xét ΔOEM vuông tại E và ΔOGM vuông tại G có

OM chung

ME=MG

Do đó: ΔOEM=ΔOGM

=>\(\hat{EOM}=\hat{GOM}\)

=>OM là phân giác của góc EOG

=>OM là phân giác của góc xOy

mà OI là phân giác của góc xOy

và OM,OI có điểm chung là O

nên O,M,I thẳng hàng

=>B,I,C thẳng hàng

Ta có: ΔOIA và ΔOIC có

      OI chung

      IA = IC (chứng minh trên)

      OA = OC (giả thiết)

ΔOIA = ΔOIC (c.c.c)

a: OA+AC=OC

OB+BD=OD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

Xét ΔOAD và ΔOBC có

OA=OB

\(\hat{AOD}\) chung

OD=OC

Do đó: ΔOAD=ΔOBC

=>AD=BC

b: Xét ΔACD và ΔBDC có

AC=BD

CD chung

AD=BC

Do đó: ΔACD=ΔBDC
=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ECD}=\hat{EDC}\)

=>EC=ED

Xét ΔOEC và ΔOED có

OE chung

EC=ED

OC=OD

Do đó; ΔOEC=ΔOED
=>\(\hat{EOC}=\hat{EOD}\)

=>OE là phân giác của góc COD

a) Xét \(\Delta AOD\)và \(\Delta\)BOC có:

OA=OB (gt)

\(\widehat{O}\)chung

OD=OC (gt)

=> \(\Delta AOD=\Delta BOC\left(cgc\right)\)

=> AD=BC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Ta có: \(\hept{\begin{cases}OC=OD\\OA=OB\end{cases}\Rightarrow OC-OA=OD-OB\Leftrightarrow AC=BD}\)

Xét tam giác EBD và tam giác EAC có:

AC chung

\(\widehat{DBE}=\widehat{CAE}\)

\(\widehat{BDE}=\widehat{ECA}\)

\(\Rightarrow\Delta EBD=\Delta EAC\left(gcg\right)\)

=> DE=EC (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác OED và tam giác OEC có:

OD=OC (gt)

OE chung

DE=EC (cmt)

=> \(\Delta OED=\Delta OEC\left(ccc\right)\)

=> \(\widehat{DOE}=\widehat{COE}\)(2 góc tương ứng)

=> OE là phân giác \(\widehat{xOy}\)(đpcm)

Kb hăm

a: OA+AC=OC

OB+BD=OD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

Xét ΔOAD và ΔOBC có

OA=OB

\(\hat{AOD}\) chung

OD=OC

DO đó: ΔOAD=ΔOBC

=>AD=BC

b: ΔOAD=ΔOBC

=>\(\hat{OAD}=\hat{OBC};\hat{ODA}=\hat{OCB}\)

Ta có; \(\hat{OAD}+\hat{DAC}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{OBC}+\hat{DBC}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{OAD}=\hat{OBC}\)

nên \(\hat{DAC}=\hat{DBC}\)

Xét ΔEAC và ΔEBD có

\(\hat{EAC}=\hat{EBD}\)

AC=BD

\(\hat{ECA}=\hat{EDB}\)

Do đó: ΔEAC=ΔEBD

c: ΔEAC=ΔEBD

=>EC=ED và EA=EB

EC=ED

=>E nằm trên đường trung trực của CD(1)

OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của CD

=>OE⊥CD

Xét ΔOEC và ΔOED có

OE chung

EC=ED

OC=OD

Do đó: ΔOEC=ΔOED

=>\(\hat{COE}=\hat{DOE}\)

=>OE là phân giác của góc COD