a: Sửa đề: Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh ABH'C là tứ giác nội tiếp

Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là giao điểm của CH và AB

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC tại D và CH⊥AB tại E

Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EAD}+\hat{EHD}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BHC}=180^0\)

H' đối xứng H qua BC

=>BC là đường trung trực của HH'

=>BH=BH' và CH=CH'

Xét ΔBHC và ΔBH'C có

BH=BH'

CH=CH'

BC chung

Do đó: ΔBHC=ΔBH'C

=>\(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

=>\(\hat{BAC}+\hat{BH^{\prime}C}=180^0\)

=>ABH'C là tứ giác nội tiếp

b:

Gọi \(R_1;R_2\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, HBC

Xét ΔHBC có \(\frac{BC}{sinBHC}=2R_2\)

Xét ΔABC xcó \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R_1\)

mà \(\sin BAC=\sin BHC\left(\hat{BAC}+\hat{BHC}=180^0\right)\)

nên \(\frac{BC}{\sin BHC}=2R_1\)

=>\(2R_1=2R_2\)

=>\(R_1=R_2\)

a: Xét ΔABC có

AM,BN,CP là các đường cao

H là trực tâm

DO đó: AM,BN,CP đồng quy tại H

Xét tứ giác APHN có \(\hat{APH}+\hat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên APHN là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BPNC có \(\hat{BPC}=\hat{BNC}=90^0\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BPHM có \(\hat{BPH}+\hat{BMH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BPHM là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CMHN có \(\hat{CMH}+\hat{CNH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMHN là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{HPN}=\hat{HAN}\) (APHN nội tiếp)

\(\hat{HPM}=\hat{HBM}\) (BPHM nội tiếp)

mà \(\hat{HAN}=\hat{HBM}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HPN}=\hat{HPM}\)

=>PH là phân giác của góc MPN

Ta có: \(\hat{PNH}=\hat{PAH}\) (APHN nội tiếp)

\(\hat{MNH}=\hat{MCH}\) (MCNH nội tiếp)

mà \(\hat{PAH}=\hat{MCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{PNH}=\hat{MNH}\)

=>NH là phân giác của góc MNP

Xét ΔMNP có

PH,NH là các đường phân giác

PH cắt NH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNP

a: H' đối xứng H qua BC

=>BC là đường trung trực của H'H

=>BH=BH', CH=CH'

Xét ΔBHC và ΔBH'C có

BH=BH'

CH=CH'

BC chung

Do đó: ΔBHC=ΔBH'C

=>\(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

Gọi D là giao điểm của BH và CA, E là giao điểm của CH và AB

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥CA tại D, CH⊥AB tại E

Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EHD}+\hat{EAD}=180^0\)

mà \(\hat{EHD}=\hat{BHC}\) (hai góc đối đỉnh)

và \(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

nên \(\hat{BAC}+\hat{BH^{\prime}C}=180^0\)

=>ABH'C là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔHBC có \(\frac{BC}{\sin BHC}=2R_1\)

=>\(\frac{BC}{sin\left(180^0-BAC\right)}=2R_1\)

=>\(2R_1=\frac{BC}{\sin BAC}\) (1)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R_2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(R_1=R_2\)

=>Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔBHC bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Chứng minh được  B I C ^ = 120 0

=>  B O C ^ = 2 B A C ^ = 120 0 =>  B H C ^ = 180 0 - 60 0 = 120 0  (góc nội tiếp và góc ở tâm)

=> H, I, O cùng nhìn BC dưới góc 120 0  nên B, C, O, I, H cùng thuộc một đường tròn

Ngọc Vĩ tui chưa học hình

Goi F la giao diem BH va AC

ta co : goc IAC+goc ACI=90 ( tam giac AIC vuong tai I)

          goc FBC+goc ACI=90 ( tam giac BFC vuong tai F)

--> goc IAC=gocFBC

ma goc IAC=goc CBM ( 2goc nt cung chan cung MC cua (O))

nen FBC=CBM--> BI la tia p.g goc HBM

xet tam giac BHM ta co

BI la duong p.g va BI la duong cao ( AI vuong goc BC tai I)

--> tam giac BHM can tai B 

ma BI la duong cao

nen BI la duong trung tuyen

-> I la trung diem HM

-> HI=IM

CAch nay dung k co Loan?

A B C H I M O D

Kẻ đường kính AD

*) Chứng minh BHCD là hbh ; từ đó suy ra BH = CD

+) Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD => tam giác ABD vuông tại B => DB vuông góc với AB 

Mà CH vuông góc với AB => CH // BD

+) Tương tự ta có AC vuông góc với DC mà BH vuông góc với AC => DC// BH

=> tứ giác BHCD là hbh => BH = CD   (1)

*) Tam giác AIB vuông tại I => góc BAM + IBA = 90^o

Mặt khác, tam giác ABD vuông tại B => góc  ABD = IBA + CBD = 90^o

=> góc BAM = CBD 

Hơn nữa; góc BAM là góc nội tiếp (O) chắn cung BM; góc CBD là góc nt (O) chắn cung CD

=> dây BM = dây CD  (2)

Từ (1)(2) => BH = BM => tam giác BHM cân tại B có BI là đuơng cao nên đông thời là đường trung tuyến => I là trung điểm của HM 

=> IH = IM