a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc EAD=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6cm

b: Gọi O là giao của AH và DE

=>O là trung điểm chung của AH và DE
mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Ta có: góc OHD+góc MHD=90 độ

góc ODH+góc MDH=90 độ

mà góc OHD=góc ODH

nên góc MHD=góc MDH

=>ΔMHD cân tại M và góc MDB=góc MBD

=>ΔMBD cân tại M

=>MH=MB

=>M là trung điểm của HB

Cm tương tự, ta được N là trung điểm của HC

=>MN=1/2BC

d: \(AD\cdot AB=AH^2\)

\(AE\cdot AC=AH^2\)

Do đó: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

BC=BH+CH

=4+9=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà DE=AH

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOHM vuông tại H và ΔODM vuông tại D có

OM chung

OH=OD

Do đó: ΔOHM=ΔODM

=>MH=MD

=>ΔMHD cân tại M

Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)

\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

=>MB=MD

mà MH=MD

nên MB=MH

=>M là trung điểm của BH

=>DM=HB/2=4/2=2(cm)

Xét ΔNEO vuông tại E và ΔNHO vuông tại H có

NO chung

OE=OH

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>NE=NH

=>ΔNEH cân tại N

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NHE}+\hat{NCE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)

mà \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

=>NE=NC

mà NE=NH

nên NH=NC

=>N là trung điểm của HC

=>EN=HC/2=9/2=4,5(cm)

Diện tích hình thang MDEN là;

\(S_{MDEN}=\frac12\cdot\left(MD+EN\right)\cdot DE\)

\(=\frac12\cdot\left(4,5+2\right)\cdot6=3\cdot6,5=19,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi O là giao của EF và AH, K là giao AM và EF

Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\) nên AEHF là hcn

Do đó \(OE=OF=OH=OA\)

\(\Rightarrow\Delta AOF\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{AFO}=\widehat{FAO}\left(1\right)\)

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\left(2\right)\)

Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat{MCA}+\widehat{FAO}=90^0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{AFO}=90^0\)

Mà \(\widehat{AFO}+\widehat{MAC}+\widehat{AKF}=180^0\Rightarrow\widehat{AKF}=90^0\)

Vậy AM vuông góc EF

góc AEH=góc ADH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

góc NED=góc NEH+góc DEH

=góc DAH+góc NHE

=góc BAH+góc B=90 độ

=>NE vuông góc ED(1)

góc MDE=góc MDH+góc EDH

=góc MHD+góc EAH

=góc HAC+góc C=90 độ

=>DM vuông góc ED(2)

Từ (1), (2) suy ra ENMD là hình thang vuông

\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

BH=6^2/10=3,6cm

=>DM=1,8cm

HC=8^2/10=6,4cm

=>EN=3,2cm

AH=6*8/10=4,8cm

=>ED=4,8cm

\(S_{ENMD}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(EN+DM\right)\cdot ED=\dfrac{1}{2}\cdot\left(3,2+1,8\right)\cdot2,4=1,2\cdot5=6\left(cm^2\right)\)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

ΔHDB vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=MH=MB=HB/2=4(cm)

ΔMEC vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên \(NE=NH=NC=\frac{CH}{2}=\frac{18}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=8\cdot18=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=12(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔODM và ΔOHM có

OD=OH

DM=HM

OM chung

Do đó: ΔODM=ΔOHM

=>\(\hat{ODM}=\hat{OHM}=90^0\)

=>DM⊥ DE tại D

Xét ΔNEO và ΔNHO có

NE=NH

OE=OH

NO chung

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>\(\hat{NEO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NE⊥ ED

mà DM⊥ DE

nên DM//EN

=>DMNE là hình thang vuông

=>\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+EN\right)\cdot DE=\frac12\cdot12\cdot\left(4+9\right)=6\cdot13=78\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

ΔHDB vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=MH=MB=HB/2=4(cm)

ΔMEC vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên \(NE=NH=NC=\frac{CH}{2}=\frac{18}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=8\cdot18=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=12(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔODM và ΔOHM có

OD=OH

DM=HM

OM chung

Do đó: ΔODM=ΔOHM

=>\(\hat{ODM}=\hat{OHM}=90^0\)

=>DM⊥ DE tại D

Xét ΔNEO và ΔNHO có

NE=NH

OE=OH

NO chung

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>\(\hat{NEO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NE⊥ ED

mà DM⊥ DE

nên DM//EN

=>DMNE là hình thang vuông

=>\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+EN\right)\cdot DE=\frac12\cdot12\cdot\left(4+9\right)=6\cdot13=78\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì:  A ^ = E ^ = D ^ = 90 o nên DE = AH.

Xét ABC vuông tại A có: A H 2 = HB.HC = 9.16 = 144 => AH = 12

Nên DE = 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì:  A ^ = E ^ = D ^ = 90 ∘ nên DE = AH.

Xét ∆ ABC vuông tại A có A H 2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇔ AH = 6

Nên DE = 6cm

Đáp án cần chọn là : D