Câu b là chứng minh EF = \(\frac{AC}{2}\) nha

Mình gõ nhầm xíu

a)

Vì \(\hept{\begin{cases}NF\perp AC\\BH\perp AC\end{cases}}\Rightarrow NF//BH\)

\(\hept{\begin{cases}NF//AB\\NB=NC\end{cases}}\Rightarrow\)NF là đường trung bình 

=> \(NF=\frac{1}{2}BH\)

Ta lại có :

\(\hept{\begin{cases}ME\perp AC\\BH\perp AC\end{cases}}\Rightarrow ME//BH\)

\(\hept{\begin{cases}BH//ME\\AM=MB\end{cases}\Rightarrow}\)ME là đường trung bình của tam giác 

=> \(ME=\frac{1}{2}BH\)

Vì \(\hept{\begin{cases}NF=\frac{1}{2}BH\\ME=\frac{1}{2}BH\end{cases}}\Rightarrow ME=NF\)

Xong a 

a: XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(Gt)

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(gt)

nên HN=AN

Ta có: ΔAHB vuông tại H(gt)

mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(gt)

nên HM=AM

Xét ΔNAM và ΔNHM có 

NA=NH(cmt)

MA=MH(cmt)

NM chung

Do đó: ΔNAM=ΔNHM(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{NAM}=\widehat{NHM}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{NAM}=90^0\)(gt)

nên \(\widehat{NHM}=90^0\)

hay MH\(\perp\)NH(đpcm)

Bạn tự vẽ hình nhé hình này rất dễ thôi :v

a)Xét tam giác cân ABC có:AM là trung tuyến

`=>` AM là đường cao

`=>AM bot BC`

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

`AM` chung

`hat{AMB}=hat{AMC}=90^o(CMT)`

`BM=MC`(do m là trung điểm)

`=>Delta ABM=Delta ACM(cgc)`

`b)` Xét tam giác vuông BHM và tam giác vuông CKM ta có:

`BM=CM`(M là trung điểm)

`hat{ABC}=hat{ACB}`(do tam giác ABC cân)

`=>Delta BHM=Delta CKM`(ch-gn)

`=>BH=CK`

Bài 1:

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên KM=BC/2(1)

Ta có: ΔBHC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=BC/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MH=MK

hay ΔMHK cân tại M

b: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE

*Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒ NC = NE     (16)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

Gọi O là giao điểm của AH và DE

ΔHDB vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=MH=MB=HB/2=4(cm)

ΔMEC vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên \(NE=NH=NC=\frac{CH}{2}=\frac{18}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=8\cdot18=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=12(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔODM và ΔOHM có

OD=OH

DM=HM

OM chung

Do đó: ΔODM=ΔOHM

=>\(\hat{ODM}=\hat{OHM}=90^0\)

=>DM⊥ DE tại D

Xét ΔNEO và ΔNHO có

NE=NH

OE=OH

NO chung

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>\(\hat{NEO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NE⊥ ED

mà DM⊥ DE

nên DM//EN

=>DMNE là hình thang vuông

=>\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+EN\right)\cdot DE=\frac12\cdot12\cdot\left(4+9\right)=6\cdot13=78\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

ΔHDB vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=MH=MB=HB/2=4(cm)

ΔMEC vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên \(NE=NH=NC=\frac{CH}{2}=\frac{18}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=8\cdot18=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=12(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔODM và ΔOHM có

OD=OH

DM=HM

OM chung

Do đó: ΔODM=ΔOHM

=>\(\hat{ODM}=\hat{OHM}=90^0\)

=>DM⊥ DE tại D

Xét ΔNEO và ΔNHO có

NE=NH

OE=OH

NO chung

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>\(\hat{NEO}=\hat{NHO}=90^0\)

=>NE⊥ ED

mà DM⊥ DE

nên DM//EN

=>DMNE là hình thang vuông

=>\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+EN\right)\cdot DE=\frac12\cdot12\cdot\left(4+9\right)=6\cdot13=78\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: Xét ΔHAB có 

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB

hay ABNM là hình thang