a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>KM⊥MB tại M

Xét tứ giác BMKC có \(\hat{BMK}+\hat{BCK}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMKC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔAIB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAIB vuông tại I

Xét (O) có

\(\hat{AMI};\hat{ABI}\) là các góc nội tiếp chắn cung AI

=>\(\hat{AMI}=\hat{ABI}\)

mà \(\hat{ABI}=\hat{AIK}\left(=90^0-\hat{IAB}\right)\)

nên \(\hat{AIK}=\hat{AMI}\)

Xét ΔAIK và ΔAMI có

\(\hat{AIK}=\hat{AMI}\)

góc IAK chung

Do đó: ΔAIK~ΔAMI

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC⊥CD
mà OA⊥BC

nên OA//CD
b: OA//CD

=>OA//CE
=>OCEA là hình thang

Xét ΔEOD vuông tại O và ΔABO vuông tại B có

OD=BO

\(\hat{EDO}=\hat{AOB}\) (hai góc đồng vị, OA//DE)

Do đó: ΔEOD=ΔABO

=>OE=AB

mà AB=AC

nên OE=AC

Xét hình thang OCEA có OE=CA

nên OCEA là hình thang cân

1: Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

=>\(\hat{AKB}=90^0\)

Xét tứ giác BKHC có \(\hat{BKH}+\hat{BCH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BKHC là tứ giác nội tiếp

2: C là trung điểm của AO

=>\(AC=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2}\)

Xét ΔACH vuông tại C và ΔAKB vuông tại K có

\(\hat{CAH}\) chung

Do đó: ΔACH~ΔAKB

=>\(\frac{AC}{AK}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AH\cdot AK=AC\cdot AB=\frac{R}{2}\cdot2R=R^2\)

1: góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

2: góc IEN+góc IBN=180 độ

=>IENB nội tiếp

MAIE nội tiếp

=>góc AMI=góc AEI

IENB nội tiếp

=>góc BIN=góc BEN

góc BEN+góc IEB=90 độ

góc AEI+góc BEI=90 độ

=>góc BEN=góc AEI

=>góc AMI=góc BIN

Bổ sung đề: Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>AC⊥BD tại C

ΔACD vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên IA=IC

Xét ΔOAI và ΔOCI có

OA=OC

AI=CI

OI chung

Do đó: ΔOAI=ΔOCI

=>\(\hat{OAI}=\hat{OCI}\)

=>\(\hat{OCI}=90^0\)

=>IC là tiếp tuyến tại C của (O)

Sửa đề: Chứng minh IC là tiếp tuyến tại C của (O)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

=>ΔACD vuông tại C

ΔCAD vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên IA=IC=ID

Xét ΔIAO và ΔICO có

IA=IC

OA=OC

IO chung

Do đó: ΔIAO=ΔICO

=>\(\hat{IAO}=\hat{ICO}\)

=>\(\hat{ICO}=90^0\)

=>IC là tiếp tuyến tại C của (O)

1: Xét tứ giác AMEI có \(\hat{MAI}+\hat{MEI}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMEI là tứ giác nội tiếp

3: Xét tứ giác BIEN có \(\hat{IEN}+\hat{IBN}=90^0+90^0=180^0\)

nên BIEN là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ENI}=\hat{EBI}=\hat{EBA}\)

AMEI là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{IME}=\hat{IAE}=\hat{EAB}\)

Xét (O) có

ΔEAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔEAB vuông tại E

=>\(\hat{EAB}+\hat{EBA}=90^0\)

=>\(\hat{IMN}+\hat{INM}=90^0\)

=>ΔIMN vuông tại I

=>\(\hat{MIN}=90^0\)

TA có: \(\hat{MIA}+\hat{MIN}+\hat{NIB}=180^0\)

=>\(\hat{MIA}+\hat{NIB}=180^0-90^0=90^0\)

mà \(\hat{NIB}+\hat{BNI}=90^0\) (ΔBNI vuông tại B)

nên \(\hat{AIM}=\hat{BNI}\)

Xét ΔAIM vuông tại A và ΔBNI vuông tại B có

\(\hat{AIM}=\hat{BNI}\)

Do đó: ΔAIM~ΔBNI

=>\(\frac{AI}{BN}=\frac{AM}{BI}\)

=>\(AM\cdot BN=AI\cdot BI=\frac{R}{2}\cdot\frac{3R}{2}=\frac34R^2\) không đổi