a)

Có 2 trung tuyến BN, CM cắt nhau suy ra \(BN\perp AM\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}.4=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\)

Trong tam giác ABN vuông tại A, đường cao AG, ta có:

\(AB^2=BG.BN\) (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{\dfrac{8}{3}.4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABN vuông tại A

\(\Rightarrow AN^2=BN^2-AB^2\\ \Rightarrow AN=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Mà N là trung điểm AC => AC = \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác ABC: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Thừa dữ kiện AM = 3cm, bạn coi kỹ đề đủ/ đúng hết chưa thì cmt để chút mình coi lại bài giải

Xét ∆ ABC

Vì BN là đg trung tuyến của AC

➡️AN = CN = AC ÷ 2

Vì CM là đg trung tuyến của AB

➡️AM = BM = AB ÷ 2

mà AB nhỏ hơn AC (gt)

➡️BM nhỏ hơn CN 

hay CN lớn hơn BM (đpcm)

Hok tốt nha~

Gọi giao điểm của BN, CM là G => G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: BN vuông góc vs CM

=> BG vuông góc vs GM và CG vuông góc vs GN

=> MG² + GB² = BM² =(1/2.AB)² =90,25 và CG² + GN² = NC² = (1/2AC)² = 121 (ĐL Pytago)

=> MG² + GB² + CG² + GN² = 211,25

Mà MG = 1/2 CG và NG = 1/2 BG (Vì G là trọng tâm)

=> (1/2CG)² + CG² + (1/2 BG)²  + BG² =211,25 => 5/4 BG² + 5/4 CG² =211,25

=> BG² +CG² = 211,25 : 5/4 =169

=> BC² = 169 (Vì BG² +CG² = BC²) => BC = 13

a: Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MA=MD

=>M là trung điểm của AD

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=DC

Xét ΔACD có CA+CD>AD
=>CA+AB>2AM

=>\(AM<\frac{AB+AC}{2}\) (3)

b: Trên tia đối của tia NB, lấy F sao cho NB=NF

=>N là trung điểm của BF

=>BF=2BN

Xét ΔNAF và ΔNCB có

NA=NC

\(\hat{ANF}=\hat{BNC}\) (hai góc đối đỉnh)

NF=NB

Do đó: ΔNAF=ΔNCB

=>AF=CB

Xét ΔABF có AB+AF>BF

=>\(BF

=>\(2BN

=>\(BN<\frac{BA+BC}{2}\) (2)

Trên tia đối của tia EC, lấy H sao cho EH=EC

=>E là trung điểm của HC

Xét ΔEAH và ΔEBC có

EA=EB

\(\hat{AEH}=\hat{BEC}\) (hai góc đối đỉnh)

EH=EC

Do đó: ΔEAH=ΔEBC

=>AH=BC

Xét ΔAHC có AH+AC>HC

=>BC+AC>2CE

=>\(CE<\frac{CA+CB}{2}\) (1)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(AM+BN+CE<\frac{AB+AC+BA+BC+CA+CB}{2}=AB+AC+BC\)