Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: BC=AC

BC=AD

Do đó: AC=AD

=>ΔACD cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI⊥CD

Xét ΔMID vuông tại I và ΔMIC vuông tại I có

MI chung

ID=IC

Do đó: ΔMID=ΔMIC

=>MD=MC

Xét ΔADC có

AI,DO là các đường trung tuyến

AI cắt DO tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔADC

=>CM cắt AD tại trung điểm K của AD

Xét ΔKCD và ΔKNA có

\(\hat{KDC}=\hat{KAN}\) (hai góc so le trong, DC//AN)

KD=KA

\(\hat{CKD}=\hat{NKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKCD=ΔKNA

=>CD=NA

Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

Do đó: ANDC là hình bình hành

=>\(\hat{NDC}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{ADC}+\hat{BCD}=180^0\)

và \(\hat{ACD}=\hat{ADC}\) (ΔACD cân tại A)

nên \(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Xét tứ giác NBCD có

NB//CD
\(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Do đó: NBCD là hình thang cân

=>NC=BD

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên:

- AB = CD => AM = CN

- AB // CD => AM //CN

Tứ giác AMCN có cặp cạnh AM, CN song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

b) chứng minh M, O, N thẳng hàng

* AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó, O là trung điểm AC

* AC và MN là hai đường chéo của hình bình hành AMCN nên MN phải đi qua trung điểm O của AC

hay M, O, N thẳng hàng.

chuk hoc gioi

a: Xét tứ giác BMDN có 

BM//ND

BM=ND

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: MD//BN

a: AB//CD
=>\(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\)

mà \(\widehat{DAB}-\widehat{ADC}=60^0\)

nên \(\widehat{ADC}=\dfrac{180^0-60^0}{2}=60^0\)

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>OC=OD

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

=>ABCD chỉ là hình thang cân thôi chứ không là hình bình hành nha bạn

a: Ta có: \(AB=\frac12DC\)
\(DE=CE=\frac{DC}{2}\)

Do đó: AB=DE=CE

Xét tứ giác ABED có

AB//ED

AB=ED

Do đó: ABED là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABCE có

AB//CE
AB=CE

Do đó: ABCE là hình bình hành

=>AC cắt BE tại trung điểm của mỗi đường

=>N là trung điểm chung của AC và BE

c: ABED là hình bình hành

=>AE cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của AE và BD

Xét ΔAEC có

M,N lần lượt là trung điểm của AE,AC

=>MN là đường trung bình của ΔAEC

=>\(MN=\frac12CE=\frac12\cdot\frac12\cdot CD=\frac14CD\)

a: Xét ΔMOB vuông tại O và ΔNOD vuông tại O có

OB=OD

\(\widehat{MBO}=\widehat{NDO}\)

Do đó: ΔMOB=ΔNOD

Suy ra: OM=ON

c: Xét tứ giác MBND có 

O là trung điểm của MN

O là trung điểm của BD

Do đó: MBND là hình bình hành

mà MN\(\perp\)BD

nên MBND là hình thoi

a:

Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AC và BD

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AC

nên I là trung điểm của MN

=>M,I,N thẳng hàng

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EF//HG và EF=HG

Xét tứ giác EFGH có 

EF//HG

EF=HG

Do đó: EFGH là hình bình hành

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

TA có: OE⊥AB

AB//CD

Do đó: OE⊥CD

Ta có: OE⊥CD
OG⊥CD
mà OE,OG có điểm chung là O

nên E,O,G thẳng hàng

Ta có: OH⊥AD

AD//BC

Do đó: OH⊥BC

OH⊥BC

OF⊥BC

mà OH,OF có điểm chung là O

nên H,O,F thẳng hàng

Xét ΔOEA vuông tại E và ΔOGC vuông tại G có

OA=OC

\(\hat{OAE}=\hat{OCG}\) (hai góc so le trong, AE//CG)

Do đó: ΔOEA=ΔOGC

=>OE=OG

=>O là trung điểm của GE

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOFC vuông tại F có

OA=OC

\(\hat{OAH}=\hat{OCF}\) (hai góc so le trong, AH//CF)

Do đó: ΔOHA=ΔOFC

=>OH=OF
=>O là trung điểm của HF

Xét tứ giác EHGF có

O là trung điểm chung của EG và HF

=>EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF trở thành hình chữ nhật khi EG=HF

=>OE=OH

Xét ΔAHO vuông tại H và ΔAEO vuông tại E có

AO chung

OH=OE

Do đó: ΔAHO=ΔAEO

=>\(\hat{HAO}=\hat{EAO}\)

=>AC là phân giác của góc BAD