Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó; OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>2*\(\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

Xét hình thang ACDB có

N,O lần lượt là trung điểm cua CD,AB

=>NO là đường trung bình của hình thang ACDB

=>NO//AC//BD

NO//AC

AC⊥BA

Do đó: NO⊥AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB⊥NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (N)

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

a: Xét tứ giác HAOM có

\(\widehat{HAO}+\widehat{HMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>HAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

HA,HM là các tiếp tuyến

Do đó: HA=HM và OH là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

KM,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KM=KB và OK là phân giác của góc MOB

Ta có: HM+MK=HK(M nằm giữa H và K)

mà HM=HA và KM=KB

nên HA+KB=HK

c: Ta có: HA=HM

=>H nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra HO là đường trung trực của AM

=>HO\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB

Ta có: HO\(\perp\)AM

AM\(\perp\)MB

Do đó: HO//MB

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{ABM}\)

Xét ΔAHO vuông tại A và ΔMAB vuông tại M có

\(\widehat{AOH}=\widehat{MBA}\)

Do đó: ΔAHO đồng dạng với ΔMAB

=>\(\dfrac{HO}{AB}=\dfrac{AO}{MB}\)

=>\(HO\cdot MB=AO\cdot AB=2R^2\)

Bổ sung đề: N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)

\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA~ΔNBD

=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Xét ΔCBD có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)

nên MN//BD

=>MN//AC

=>MH//AC

Gọi K là giao điểm của BM và AC

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥MB tại M

=>AM⊥MK tại M

=>ΔAMK vuông tại M

Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CKM}=90^0\) (ΔAMK vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMK}=\hat{AMK}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CKM}=\hat{CMK}\)

=>CK=CM

mà CA=CM

nên CK=CA(1)

Xét ΔBAC có NH//AC

nên \(\frac{NH}{AC}=\frac{BN}{BC}\) (2)

Xét ΔBCK có MN//CK

nên \(\frac{MN}{CK}=\frac{BN}{BC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra NH=MN

a: Gọi H là trung điểm của CD

=>H là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

hay O nằm trên (H)

Xét hình thang ABDC có

O,H lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OH là đường trung bình của hình thang ABDC

=>OH//AC//BD và \(OH=\frac{AC+BD}{2}\)

ta có: OH//AC
CA⊥AB

Do đó: OH⊥AB

=>(H) tiếp xúc với AB tại O

b: \(C_{ABDC}=AC+CD+DB+AB\)

=CM+CD+DM+AB

=CD+CD+AB

=2CD+AB

Kẻ CK⊥BD tại K

=>CK<=CD

CK⊥BD

AB⊥BD

Do đó: CK//AB

Xét tứ giác ABKC có

KC//AB

AC//BK

Do đó: ABKC là hình bình hành

=>KC=AB=2R

Để chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất thì 2CD+AB nhỏ nhất

mà AB cố định

nên 2CD nhỏ nhất

=>CD nhỏ nhất

mà CD<=CK=2R

nên CD nhỏ nhất khi CD=2R

mà OM=R

nên OM=1/2CD

ΔCOD vuông tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên \(OH=\frac12CD\)

=>OM=OH

=>M trùng với H

=>MO⊥AB tại O

=>M là điểm chính giữa của cung AB

c: \(C_{ABDC}=2CD+AB\)

=>2CD+4=14

=>2CD=10

=>CD=5(cm)

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, AC//BD)

\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA~ΔNBD

=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Xét ΔCDB có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)

nên MN//DB

mà DB⊥AB

nên MN⊥AB

b: Gọi K là giao điểm của BM và AC

Ta có: MN⊥AB

AC⊥BA

Do đó: MN//AC

=>MH//AK

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥MB

=>AM⊥MK tại M

=>ΔAMK vuông tại M

ta có: \(\hat{CMA}+\hat{CMK}=\hat{AMK}=90^0\)

\(\hat{CAM}+\hat{CKM}=90^0\) (ΔAMK vuông tại M)

mà \(\hat{CMA}=\hat{CAM}\) (ΔCAM cân tại C)

nên \(\hat{CMK}=\hat{CKM}\)

=>CM=CK

mà CM=CA

nên CK=CA(1)

Xét ΔBAC có NH//AC

nên \(\frac{NH}{AC}=\frac{BN}{BC}\left(2\right)\)

Xét ΔBCK có MN//CK

nên \(\frac{MN}{CK}=\frac{BN}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra NH=MN

sao cm/md = cn/nb ạ

a: Xét (O) có 

DA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm

Do đó: DA=DC

Xét (O) có 

EC là tiếp tuyến có E là tiếp điểm

EB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

Do đó: EC=EB

Ta có: CD+CE=DE

nên DA+EB=DE

giải tiếp cho em câu b và c luôn đc ko ạ ?

Làm cho mik ý b và c