Từ  D  kẻ  DH  vuông góc với AC   (H thuộc AC)

Xét  \(\Delta AHD\)và   \(\Delta AFC\:\)có:

    \(\widehat{AHD}=\widehat{AFC\:}=90^0\)

    \(\widehat{HAD}\) chung

suy ra:    \(\Delta AHD~\Delta AFC\:\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{AF}=\frac{AD}{AC}\)

\(\Rightarrow\)\(AD.AF=AH.AC\)  (1)

Xét  \(\Delta AEC\) và     \(\Delta CHD\)  có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{CHD}=90^0\)

\(\widehat{EAC}=\widehat{HCD}\) (slt do ABCD là hình bình hành nên AB//CD)

suy ra:   \(\Delta AEC~\Delta CHD\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{CH}=\frac{AC}{CD}\)

\(\Rightarrow\)\(AE.CD=CH.AC\)

mà  \(CD=AB\) (do ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow\)\(AB.AE=CH.AC\)

Lấy (1) + (2) theo vế ta được:

   \(AD.AF+AB.AE=AH.AC+HC.AC=AC^2\) (đpcm)

Dựng BG ⊥ AC.

Xét ΔBGA và ΔCEA, ta có:

∠ (BGA) =  ∠ (CEA) =  90 0

∠ A chung

⇒ △ BGA đồng dạng  △ CEA(g.g)

Suy ra: 

AB.AE = AC.AG (1)

Xét  △ BGC và  △ CFA, ta có:

∠ (BGC) =  ∠ (CFA) = 90 0

∠ (BCG) =  ∠ (CAF) (so le trong vì AD //BC)

△ BGC đồng dạng △ CFA (g.g)

Suy ra:  ⇒ BC.AF = AC.CG

Mà BC = AD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: AD.AF = AC.CG (2)

Cộng từng vế đẳng thức (1) và (2) ta có:

AB.AE + AD.AF = AC.AG + AC.CG

Dựng BG ⊥ AC.

Xét ∆ BGA và ∆ CEA, ta có:

 chung

Suy ra: ∆ BGA đồng dạng ∆ CEA (g.g)

Suy ra: 

Suy ra: AB.AE = AC.AG   (1)

Xét ∆ BGC và ∆ CFA, ta có:

  (so le trong vì AD // BC)

Suy ra: ∆ BGC đồng dạng ∆ CFA (g.g)

Suy ra: 

Mà BC = AD (tính chất hình bình hành )

Suy ra: AD.AF = AC.CG            (2)

Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:

AB.AE + AD.AF = AC.AG + AC.CG

Mà   nên 

có gì sai mong bạn sửa lại nha

a: Xét ΔAIB vuông tại I và ΔAEC vuông tại E có

góc IAB chung

=>ΔAIB đồng dạng vơi ΔAEC

b: ΔAIB đồng dạng với ΔAEC

=>AI/AE=AB/AC

=>AI/AB=AE/AC

=>ΔAIE đồng dạng với ΔABC và AB*AE=AI*AC

c: Xét ΔFAC vuông tại F và ΔICB vuông tại I có

góc FAC=góc ICB

=>ΔFAC đồng dạng với ΔICB

=>AF/IC=CA/CB

=>AF*CB=CA*IC

=>AB*AE+AF*CB=AC^2

giúp mình với 

a: Xét ΔINC và ΔIDA có

\(\hat{INC}=\hat{IDA}\) (hai góc so le trong, AD//NC)

\(\hat{NIC}=\hat{DIA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔINC~ΔIDA

=>\(\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}\) (1)

Xét ΔICD và ΔIAM có

\(\hat{ICD}=\hat{IAM}\) (hai góc so le trong, CD//AM)

\(\hat{CID}=\hat{AIM}\) (hai góc đối đỉnh)

DO đó: ΔICD~ΔIAM

=>\(\frac{IC}{IA}=\frac{ID}{IM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM}\)

=>\(IN\cdot IM=ID^2\)

c: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAGB vuông tại G có

\(\hat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAGB

=>\(\frac{AE}{AG}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AG\cdot AC\)

Kẻ DH⊥AC tại H

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{HAD}\) chung

Do đó: ΔAHD~ΔAFC

=>\(\frac{AH}{AF}=\frac{AD}{AC}\)
=>\(AH\cdot AC=AD\cdot AF\)

Xét ΔDHA vuông tại H và ΔBGC vuông tại G có

DA=BC

\(\hat{DAH}=\hat{BCG}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔDHA=ΔBGC

=>AH=CG

\(AB\cdot AE+AD\cdot AF\)

\(=AG\cdot AC+AH\cdot AC=AG\cdot AC+CG\cdot CA=AC\left(AG+CG\right)=AC^2\)

Bước 1: Xét tam giác vuông \(A C E\)

Vì \(C E \bot A B\), ta có \(\triangle A C E\) vuông tại \(E\). Theo định lý Pythagoras:

\(A C^{2} = A E^{2} + E C^{2}\)

Bước 2: Xét tam giác vuông \(A C F\)

Tương tự, vì \(C F \bot A D\), ta có \(\triangle A C F\) vuông tại \(F\), nên:

\(A C^{2} = A F^{2} + C F^{2}\)

Bước 3: Xét tổng hai phương trình

Từ hai phương trình trên:

\(A E^{2} + E C^{2} + A F^{2} + C F^{2} = 2 A C^{2}\)

Mặt khác, trong hình bình hành, ta có tính chất:

\(E C^{2} = A F \cdot A D , C F^{2} = A E \cdot A B\)

Thay vào phương trình:

\(A E^{2} + A F^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)

Do hình bình hành có tính chất đối xứng, ta cũng có:

\(A E^{2} + A F^{2} = A C^{2}\)

Suy ra:

\(A C^{2} + A E \cdot A B + A F \cdot A D = 2 A C^{2}\)

Từ đó suy ra:

\(A E \cdot A B + A F \cdot A D = A C^{2}\)