a: G là trọng tâm

=>BG=2/3BD; CG=2/3CE
=>BG=CG

=>DG=GE

b: Xet ΔEBC và ΔDCB có

BC chung

góc ECB=góc DBC

EC=BD

=>ΔEBC=ΔDCB

=>góc ABC=góc ACB

=>ΔACB cân tại A

Bài 1: 

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

I là trung điểm của GB

K là trung điểm của GC

Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK

Xét ΔABC có BD,CE là trung tuyến và BD cắt CE tại G

=>G là trọng tâm của ΔABC

=>BD=3/2BG; CE=3/2CG

BD+CE=3/2(BG+CG)>3/2BC

a: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BD;CG=\frac23CE\)

mà BD=CE

nên BG=CG

ta có: BG+GD=BD

CG+GE=CE

mà BG=CG và BD=CE
nên GD=GE

b: Xét ΔGEB và ΔGDC có

GE=GD

\(\hat{EGB}=\hat{DGC}\) (hai góc đối đỉnh)

GB=GC

Do đó: ΔGEB=ΔGDC

=>EB=DC

mà AB=2EB và AC=2DC
nên AB=AC

=>ΔABC cân tại A

DG+EG=1/3BD+1/3CE=2/3BD=BG>1/2BC

Sửa đề: MN cắt CE tại K

Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC và \(ED=\frac12BC\)

Xét hình thang BEDC có

M,N lần lượt là trung điểm của EB,DC

=>MN là đường trung bình của hình thang BEDC

=>MN//ED//BC và \(MN=\frac12\left(ED+BC\right)=\frac12\left(\frac12BC+BC\right)=\frac34BC\)

Xét ΔBED có

M là trung điểm của BE

MI//ED

Do đó: I là trung điểm của BD

Xét ΔCED có

N là trung điểm của CD

NK//ED

Do đó: K là trung điểm của CE

Xét ΔBED có

M,I lần lượt là trung điểm của BE,BD

=>MI là đường trung bình của ΔBED

=>\(MI=\frac12ED=\frac14BC\)

Xét ΔCED có

N,K lần lượt là trung điểm của CD,CE

=>NK là đường trung bình của ΔCED
=>\(NK=\frac12ED=\frac14BC\)

MI+IK+KN=MN

=>\(IK=\frac34BC-\frac14BC-\frac14BC=\frac14BC\)

=>MI=IK=KN