a: Xét ΔABC có AB<AC
mà \(\hat{ACB};\hat{ABC}\) lần lượt là góc đối diện của các cạnh AB,AC

nên \(\hat{ACB}<\hat{ABC}\) (1)

Xét (O) có \(\hat{ACB};\hat{AEB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{ACB}=\hat{AEB}\) (2)

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{AEC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{AEC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AEB}<\hat{AEC}\)

b: Xét ΔDBA và ΔDEC có

\(\hat{DBA}=\hat{DEC}\)

\(\hat{BDA}=\hat{EDC}\)

Do đó: ΔDBA~ΔDEC

=>\(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{EC}\)

=>\(AD\cdot CE=AB\cdot CD\)

1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 ~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~

A B C O I K H Q D

Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)

Ta lại có: \(BD\perp HK\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)

\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)

Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))

Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)

\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )

Ủa bạn ơi sao phụ nhau? Dòng đầu ấy

a) Tứ giác BDFN nội tiếp nên \(\widehat{CNA}=\widehat{BDF}\) (*)

 Xét đường tròn (K), đường kính BM, ta có \(\widehat{MNB}=90^o\)  hay \(MN\perp AB\) tại N (1)

 Với lí do tương tự, ta có \(AD\perp EB,BC\perp EA\), do đó M là trực tâm của tam giác EAB \(\Rightarrow EM\perp AB\)  (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) M, N, P thẳng hàng và đường thẳng này vuông góc với AB.

 Từ đó suy ra tứ giác BECN nội tiếp (vì \(\widehat{ECB}=\widehat{ENB}=90^o\))

 \(\Rightarrow\widehat{CNA}=\widehat{AEB}\) (**)

Từ (*) và (**), suy ra \(\widehat{BDF}=\widehat{BEA}\) \(\Rightarrow\) DF//AE (đpcm)

b) Tương tự như trên, ta có tứ giác AEDN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BND}=\widehat{AEB}\), dẫn đến \(\Delta BDN~\Delta BAE\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BN}{BE}\Rightarrow BD.BE=BA.BN\) (3)

 Tứ giác NBMD nội tiếp nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ADB}\), dẫn đến \(\Delta AMN~\Delta ABD\left(g.g\right)\) 

 \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}\Rightarrow AD.AM=AB.AN\)  (4)

Cộng theo vế (3) và (4), thu được \(BD.BE+AM.AD=AB.BN+AB.AN=AB\left(BN+AN\right)=AB^2=4R^2\)không thay đổi. (đpcm)

1: góc ACB=góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AC vuông góc CB và AD vuông góc DB

=>góc ECM=90 độ=góc EDM

=>CEDM nội tiếp

AC vuông góc CB

AD vuông góc DB

=>AD,BC là 2 đường cao của ΔAEB

=>M là trực tâm

=>AM vuông góc AB

ΔMDB vuông tại D nên ΔMDB nội tiếp đường tròn đường kính MB

=>BM là đường kính của (I)

=>góc MNB=90 độ

=>MN vuông góc AB

=>E,M,N thẳng hàng

b: AM vuông góc AB

=>góc ANM=90 độ

góc ANM+góc ACM=180 độ

=>ACMN nội tiếp

=>góc CAM=góc CNM=góc ADF

=>góc CAM=góc ADF

=>DF//AB

1. Vẽ tam giác ABC:
2. • Vẽ tam giác nhọn ABC sao cho \(A B < A C\).
   • Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác này.
3. Lấy các điểm D và E:
4. • Trên tia \(B A\), lấy điểm D sao cho \(B D = C E\).
   • Trên tia \(C A\), lấy điểm E sao cho \(B D = C E\).
5. Vẽ tam giác ADE:
6. • Nối D và E với A để tạo thành tam giác ADE.
7. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE:
8. • Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Đường tròn này sẽ cắt đường tròn (O) tại điểm K khác A.
9. Điểm K:
10. • Điểm K là điểm giao của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADE và đường tròn (O).

Tham khảo