Phương pháp

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d  và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d  trên mặt phẳng (P).

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S

Cách giải:

+ Ta có SA  ⊥  (ABCD) => AB là hình chiếu của

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠  SBA = 60⁰.

+ Xét tam giác vuông SAB có: 

+ Diện tích đáy

+ Thể tích khối chóp là

Chọn C. 

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.

Chọn C.

Đáp án C

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a \Rightarrow BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$.

Góc giữa $SB$ và đáy là $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = SA^2 + (2a)^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$V = 2a^3\sqrt3$.

Chọn C.

Đáp án D

Vì ABCD là hình thang vuông tại A, D

⇒ A D ⊥ C D .  

Mà S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ S A D ⇒ C D ⊥ S D  

⇒  Tam giác SCD vuông tại D

Vì E là trung điểm của AB suy ra AECD là hình vuông

⇒ C E ⊥ A B  mà S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ A B  

suy ra  C E ⊥ S A B

Đáp án C.

Kẻ C H ⊥ A B .

Bằng tính toán hình thang vuông thông thương ta có được:

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên:

$AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Lại có $SA \perp (ABCD)$ nên:

$SA \perp AB,\ SA \perp AD,\ SA \perp BC$.

Xét các mặt bên:

Xét $\triangle SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SAD$:

$SA \perp AD \Rightarrow \triangle SAD$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SBC$:

Ta có $AB \perp BC$ và $SA \perp BC$ nên $BC \perp (SAB)$.

Suy ra $BC \perp SB \Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Xét $\triangle SCD$:

Vì $CD \parallel AB$ nên $SA \perp CD$.

Do đó $\triangle SCD$ vuông tại $S$.

Vậy các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông.

Chọn D.

Đáp án B

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$. Do đó chiều cao $SH$ được xác định từ dữ kiện hình học:

$SH = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3 a^2 \cdot \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a = \dfrac{3 a^3 \sqrt{15}}{5}$

Chọn B