Xét ΔCHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EC\cdot EA=HE^2\)

=>\(EC\cdot EA=36\)

EA+EC=AC

=>EA+EC=9

EC*EA=36 và EA+EC=9

=>EA,EC là hai nghiệm của phương trình: \(x^2-9x+36=0\)(1)

\(\text{Δ}=\left(-9\right)^2-4\cdot1\cdot36=81-144=-63< 0\)

=>Phương trình (1) vô nghiệm

Do đó: BC không có số đo

BC=căn 3^2+4^2=5cm

=>AH=3*4/5=2,4cm

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hcn

=>AH=EF=2,4cm

Xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

=> Tư giác ADHE là hình chữ nhật

\(\Rightarrow DE=AH\left(1\right)\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

\(AH^2=HB.HC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow DE^2=HB.HC\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DE^2=HB\cdot HC\)

a: Xet ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H co

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

AH=3*4/5=2,4cm

a:

BC=35cm 

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=16.8\left(cm\right)\)

b: \(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{16.8^2}{28}=10.08\left(cm\right)\)

\(AD=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{16.8^2}{21}=13.44\left(cm\right)\)

Do đó: \(S_{AED}=\dfrac{AD\cdot AE}{2}=\dfrac{13.44\cdot10.08}{2}=67.7376\left(cm^2\right)\)

A B C H

Giải: a) Ta có : \(S_{\Delta ABC}\)= \(\frac{AH.BC}{2}\) (1)

                      \(S_{\Delta ABC}\)= \(\frac{AB.AC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\) => AH.BC = AB.AC (Đpcm)

b) Xét t/giác ABC vuông tại A (áp dụng định lí Pi - ta - go)

Ta có: BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625

=> BC = 25

Ta có: AH.BC = AB.AC (cmt)

hay AH. 25 = 15.20

=> AH.25 = 300

=> AH = 300 : 25

=> AH = 12

c) chưa hc

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(S_{AHB}=\frac12\cdot HD\cdot AB\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(S_{AHC}=\frac12\cdot HE\cdot AC\)

Ta có: \(S_{AHB}+S_{AHC}=S_{ABC}\)

=>\(\frac12\left(HD\cdot AB+HE\cdot AC\right)=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

=>\(HD\cdot AB+HE\cdot AC=AH\cdot BC\)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAD}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{AED}+\hat{MAC}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥DE

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AC^2+AB^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó; ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên AD*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HE là đườg cao

nên AE*AC=AH^2

=>AD*AB=AE*AC

=>AD/AC=AE/AB

Xét ΔABC vuông tại A có tan B=AC/AB=căn 3

=>góc B=60 độ

=>góc C=30 độ

BC=căn AB^2+AC^2=8(cm)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

\(AH=AB\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4\cdot4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔADE và ΔACB có

AD/AC=AE/AB

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔACB

=>S ADE/S ACB=(AD/AC)^2

\(=\left(\dfrac{AH^2}{AB}:AC\right)^2=\left(\dfrac{AH^2}{AB\cdot AC}\right)^2=\left(\dfrac{12}{4\cdot4\sqrt{3}}\right)^2=\dfrac{3}{16}\)

\(\left(1-cos^2B\right)\cdot sin^2C=sin^2B\cdot sin^2C\)

\(=\left(sinB\cdot sinC\right)^2=\left(\dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{AC}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{8}\right)^2=\dfrac{3}{16}\)

=>\(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot\left(1-cos^2B\right)\cdot sin^2C\)