a: P đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HP

=>AP=AH và BP=BH

H đối xứng Q qua AC

=>AC là đường trung trực của HQ

=>AH=AQ và CH=CQ

Ta có: AP=AH

AH=AQ

Do đó; AP=AQ

=>ΔAPQ cân tại A

b:

Xét ΔAPB và ΔAHB có

AP=AH

BP=BH

AB chung

Do đó: ΔAPB=ΔAHB

=>\(\hat{PAB}=\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc PAH

=>\(\hat{PAH}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAQC có

AH=AQ

HC=QC

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAQC

=>\(\hat{HAC}=\hat{QAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAQ

=>\(\hat{HAQ}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{PAQ}=\hat{PAH}+\hat{QAH}\)

\(=2\cdot\left(\hat{BAH}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot60^0=120^0\)

c: Xét ΔAPI và ΔAHI có

AP=AH

\(\hat{PAI}=\hat{HAI}\)

AI chung

Do đó: ΔAPI=ΔAHI

=>\(\hat{AHI}=\hat{API}=\hat{APQ}\) (1)

Xét ΔAHK và ΔAQK có

AH=AQ
\(\hat{HAK}=\hat{QAK}\)

AK chung

Do đó: ΔAHK=ΔAQK

=>\(\hat{AHK}=\hat{AQK}\)

=>\(\hat{AHK}=\hat{AQP}\) (2)

d: Ta có: ΔAQP cân tại A

=>\(\hat{APQ}=\hat{AQP}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AHK}=\hat{AHI}\)

=>HA là phân giác của góc IHK

E đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của EH

=>AE=AH(1)

F đối xứng H qua AC

=>AC là đường trung trực của FH

=>AF=AH(2)

Từ (1),(2) suy ra AE=AF

=>\(\frac{AE}{AF}=1\)

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó:MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC

Xét ΔABH có 

M là trung điểm của AB

MI//BH

Do đó:I là trung điểm của AH

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC

Xét ΔABH có

M là trung điểm của AB

MI//BH

Do đó: I là trung điểm của AH