1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{15^2}+\dfrac{1}{20^2}=\dfrac{625}{90000}\)

\(\Leftrightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=15^2-12^2=81\)

hay BH=9(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow CH^2=AC^2-AH^2=20^2-12^2=256\)

hay CH=16(cm)

sử dụng t/c đường phân giác của tam giác nhé rùi còn nữa nhưng chưa nghĩ ra hihi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

76967867

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tạiH có

góc HAB=góc HCA

=>ΔAHB đồng dạng với ΔCHA

c: BK là phân giác

=>AK/CK=BA/BC

ΔAHC có AD là phân giác

nên DH/CD=AH/AC=BA/BC

=>DH/CD=AK/CK

=>KD//AH

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp

hay A,E,H,F cùng thuộc 1 đường tròn

Gọi O là trung điểm của AH

=>O là tâm đường tròn đường kính AH

Xét ΔABC có

H là trực tâm

AK là đường cao

Do đó: A,H,K thẳng hàng

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

Xét (O) có

ΔADH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔADH vuông tại D

=>HD⊥AB

mà CH⊥AB

và CH,HD có điểm chung là H

nên C,H,D thẳng hàng

Xét (O) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

mà BH⊥AC

và BH,HE có điểm chung là H

nên B,H,E thẳng hàng

ΔABC cân tại A

mà AK là đường cao

nên K là trung điểm của BC

ΔDBC vuông tại D

mà DK là đường trung tuyến

nên KD=KC

=>ΔKDC cân tại K

=>\(\hat{KDC}=\hat{KCD}\)

OD=OH

=>ΔDOH cân tại O

=>\(\hat{ODH}=\hat{OHD}\)

mà \(\hat{OHD}=\hat{KHC}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{ODH}=\hat{KHC}\)

\(\hat{ODK}=\hat{ODH}+\hat{KDH}\)

\(=\hat{KHC}+\hat{KCH}=90^0\)

=>KD là tiếp tuyến tại D của (O)

ΔEBC vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=BC/2=KD

Xét ΔKDO và ΔKEO có

KD=KE

DO=EO

KO chung

Do đó ΔKDO=ΔKEO

=>\(\hat{KDO}=\hat{KEO}\)

=>\(\hat{KEO}=90^0\)

=>KE là tiếp tuyến tại E của (O)

Gọi O là trung điểm của AH

=>O là tâm đường tròn đường kính AH

Xét ΔABC có

H là trực tâm

AK là đường cao

Do đó: A,H,K thẳng hàng

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

Xét (O) có

ΔADH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔADH vuông tại D

=>HD⊥AB

mà CH⊥AB

và CH,HD có điểm chung là H

nên C,H,D thẳng hàng

Xét (O) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

mà BH⊥AC

và BH,HE có điểm chung là H

nên B,H,E thẳng hàng

ΔABC cân tại A

mà AK là đường cao

nên K là trung điểm của BC

ΔDBC vuông tại D

mà DK là đường trung tuyến

nên KD=KC

=>ΔKDC cân tại K

=>\(\hat{KDC}=\hat{KCD}\)

OD=OH

=>ΔDOH cân tại O

=>\(\hat{ODH}=\hat{OHD}\)

mà \(\hat{OHD}=\hat{KHC}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{ODH}=\hat{KHC}\)

\(\hat{ODK}=\hat{ODH}+\hat{KDH}\)

\(=\hat{KHC}+\hat{KCH}=90^0\)

=>KD là tiếp tuyến tại D của (O)

ΔEBC vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=BC/2=KD

Xét ΔKDO và ΔKEO có

KD=KE

DO=EO

KO chung

Do đó ΔKDO=ΔKEO

=>\(\hat{KDO}=\hat{KEO}\)

=>\(\hat{KEO}=90^0\)

=>KE là tiếp tuyến tại E của (O)