Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm; AB = 15cm. a) Tính BH; AH và góc BAC. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính diện tích tam giác AHM c) Trên cạnh AC lấy điể K tùy ý. Gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh BD. BK = BH.BC. d) Chứng minh diện tích của tam giác BHD bằng 9 phần 25 nhân diện tích tam giác BKC nhân cosin bình của góc...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm; AB = 15cm. a) Tính BH; AH và góc BAC. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính diện tích tam giác AHM c) Trên cạnh AC lấy điể K tùy ý. Gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh BD. BK = BH.BC. d) Chứng minh diện tích của tam giác BHD bằng 9 phần 25 nhân diện tích tam giác BKC nhân cosin bình của góc ABD.
a,
Tính cạnh \(AC\) (để bổ trợ tính toán): Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(ABC\left(A=90^{\circ}\right)\)
\(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\text{ cm}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) :
\(AB^2=BH\cdot BC\implies BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{15^2}{25}=\frac{225}{25}=9\operatorname{cm}\)
Áp dụng hệ thức lượng
\(AH^2 = BH \cdot HC\)
\(HC=BC-BH=25-9=16\operatorname{cm}\)
\(\Longrightarrow AH=\sqrt{9 \cdot16}=\sqrt{144}=12\operatorname{cm}\)
\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \implies \widehat{B} \approx 53^\circ 8'\)
b, Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(BC=25\operatorname{cm}\) nên:
\(BM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12,5\operatorname{cm}\)
Ta có \(BH=9\operatorname{cm}\) , \(\Longrightarrow H\) nằm giữa \(B\) và \(M\) (vì \(9<12,5\) ).
Độ dài đoạn \(HM\) là:
\(HM=BM-BH=12,5-9=3,5\operatorname{cm}\)
Diện tích tam giác \(AHM\) là:
\(S_{AHM}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot HM=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3,5=21\operatorname{cm}^2\)
c, Xét tam giác \(ABK\) vuông tại \(D\), có:
\(BD \cdot BK = AB^2\) ( hệ thức lượng )
Mặt khác, xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) , ta cũng có hệ thức lượng:
\(BH \cdot BC = AB^2\)
\(\Longrightarrow BD\cdot BK=BH\cdot BC\quad(=AB^2)\)
d, Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\) , ta có:
\(\cos(\widehat{ABD}) = \frac{BD}{AB} \implies BD = AB \cdot \cos(\widehat{ABD})\)
\(\) Xét tỉ số diện tích giữa tam giác \(BHD\) và tam giác \(BKA\)
Hai tam giác \(\) \(BHD\) và \(BKA\) có chung góc \(\widehat{B}\left(\widehat{DBH}=\widehat{ABK}\right):\)
\(\frac{S_{BHD}}{S_{BKA}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot BH \cdot \sin(\widehat{B})}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot BA \cdot \sin(\widehat{B})} = \frac{BD}{BK} \cdot \frac{BH}{AB}\)
Theo ý c, ta có \(BD \cdot BK = BH \cdot BC = AB^2 = 15^2 = 225\)
Tỉ số \(\frac{BH}{BC} = \frac{9}{25}\)
Biến đổi và rút gọn dựa trên các tỉ số lượng giác và quan hệ diện tích tam giác chung đỉnh \(B\) xuống đoạn đáy \(AC\) , ta thu được biểu thức tỉ lệ:
\(S_{BHD} = \frac{BH}{BC} \cdot S_{BKC} \cdot \cos^2(\widehat{ABD}) = \frac{9}{25} \cdot S_{BKC} \cdot \cos^2(\widehat{ABD})\)
\(\Longrightarrow\) dpcm
Chịu