A= \(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\)\(\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{1+2+3+4}\right)\) .....\(\left(1-\frac{1}{1+2+3+...+2005+2006}\right)\)

A = \(\left(1-\frac{1}{3}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{6}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{10}\right)\) .... \(\left(1-\frac{1}{2013021}\right)\)

= \(\frac{2}{3}\) . \(\frac{5}{6}\) . \(\frac{9}{10}\) .....\(\frac{2013020}{2013021}\)

= \(\frac{4}{6}\).\(\frac{10}{12}\).\(\frac{18}{20}\)....\(\frac{4026040}{4026042}\)

= \(\frac{1.4}{2.3}\).\(\frac{2.5}{3.4}\).\(\frac{3.6}{4.5}\).\(\frac{2005.2008}{2006.2007}\)

= \(\frac{1.2.3.4...2005}{2.3.4.5...2006}\).\(\frac{4.5.6...2008}{3.4.5...2007}\)

= \(\frac{1}{2006}.\frac{2008}{3}=\frac{1004}{3009}\)

Đề bài là A = gì thế bạn?

phynit

đây là đề bài thấy lúc đầu :

vài giây sau đó :

Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

\(3A-A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)

\(2A=1-\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

< 0 câu trả lời

=> đề CM Sai

=1/14 nha em

.

Lời giải:

Biểu thức $P$ không đối xứng. Có lẽ đề bài đúng là:

\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ab+3a^2+1}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2-ab+3b^2+1=(a^2+b^2)-ab+(b^2+1)+b^2\geq ab+2b+b^2$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab+2b+b^2}}$

Mà cũng theo BĐT AM-GM kết hợp BĐT Cauchy_Schwarz:

\(\frac{1}{\sqrt{ab+2b+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{b(a+b+2)}}\leq \frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\leq \frac{1}{4b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)

\(=\frac{1}{16}.\frac{1}{a}+\frac{5}{16}.\frac{1}{b}+\frac{1}{8}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

$P\leq \frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{8}\leq \frac{3}{8}.3+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$