\(\)Ta có: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

=>\(y + z = 4 - x - \sqrt{xyz}\)

Ta có: \((4-y)(4-z)=16-4(y+z)+yz\)

=>\((4-y)(4-z) = 16 - 4(4 - x - \sqrt{xyz}) + yz\)

\(= 16 - 16 + 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

\(= 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

=>\(x(4-y)(4-z) = x(4x + 4\sqrt{xyz} + yz)\)

\(=4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz=\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2\)

=>\(\sqrt{x(4-y)(4-z)} = \sqrt{(2x + \sqrt{xyz})^2} = 2x + \sqrt{xyz}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\sqrt{y(4-z)(4-x)}=2y+\sqrt{xyz};\sqrt{z(4-x)(4-y)}=2z+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}\)

\(=(2x+\sqrt{xyz})+(2y+\sqrt{xyz})+(2z+\sqrt{xyz})-\sqrt{xyz}\)

\(=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}\)

\(=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=2\cdot4=8\) (ĐPCM)

VMO 2007 bạn nhé

Bài này có đúng là của lớp 7 không bạn?

A nhé

Thanks

Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)