Tọa độ giao điểm của (d2) và (d3) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-x+3\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=2 vào (d1), ta được:

\(\left(m^2-1\right)+m^2-5=2\)

=>\(2m^2=8\)

=>\(m^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;5} \right)\)

Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( - 1).5 = 0\)

Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)

c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ \)

a: d//d1

=>m-2=-m và m+7<>2m-3

=>m=1

b: d trùng với d2

=>m-2=-m^2 và m+7=-2m+1

=>m=-2 và m^2+m-2=0

=>m=-2

d: d vuông góc d4

=>-1/6(m+3)(m-2)=-1

=>(m+3)(m-2)=6

=>m^2+m-6-6=0

=>m^2+m-12=0

=>m=-4 hoặc m=3

c: Thay y=1/3 vào d3, ta được:

-2/3x+5/3=1/3

=>-2/3x=-4/3

=>x=2

Thay x=2 và y=1/3 vào (d), ta được:

2(m-2)+m+7=1/3

=>3m+3=1/3

=>3m=-8/3

=>m=-8/9

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d):

2x/5 + 1/2 = 3x/5 - 5/2

⇔ 3x/5 - 2x/5 = 1/2 + 5/2

⇔ x/5 = 3

⇔ x = 3.5

⇔ x = 15

⇒ y = 2.15/5 + 1/2 = 6 + 1/2 = 13/2

Thay x = 15; y = 13/2 vào (d) ta có:

15k + 7/2 = 13/2

⇔ 15k = 13/2 - 7/2

⇔ 15k = 3

⇔ k = 1/5

Vậy k = 1/5 thì (d); (d₁) và (d₂) đồng quy

a/ \(y=-2x-5\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m=-2\\m-1=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

b/ \(y=x-2\)

\(\Rightarrow2m.1=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)

Bài 2:

Hệ phương trình tọa độ giao điểm M:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=3x-2\\2y-x=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(1;1\right)\)

Bài 3:

Hệ pt tọa độ giao điểm A của d1 và d2:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\y=x-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(2;1\right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy \(\Leftrightarrow d_3\) qua A

\(\Rightarrow\left(m-1\right).2+2=1\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)

a/ Gọi A là giao điểm d1 và d2 \(\Rightarrow\) pt hoành độ của A:

\(x+2=5-2x\Rightarrow3x=3\Rightarrow x=1\Rightarrow y=3\)

\(\Rightarrow A\left(1;3\right)\)

Thay tọa độ A vào pt d3: \(3=3.1\) (thỏa mãn) \(\Rightarrow A\in d_3\)

Vậy d1, d2, d3 đồng quy tại A

b/ Để \(d_1;d_2;\Delta\) đồng quy \(\Leftrightarrow\Delta\) đi qua A

\(\Leftrightarrow3=m.1+m-5\Rightarrow m=4\)

a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + ( - 1).1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - 3; - 1} \right)\)

 b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(1;3)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(5.1 - 2.3 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song

c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)\)

Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau

Lấy điểm \(A(2;5)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(3.2 + 5 - 11 = 0\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_2}\)

Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trùng nhau

a: d1: 3x-4y=0

=>vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{u_1}=\) (3;-4)

(d2): \(\begin{cases}x=1+3t\\ y=-4t\end{cases}\)

=>Vecto chỉ phương là (3;-4)

=>Vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{u_2}=\) (4;3)

\(cos\left(d1;d2\right)=cos\left(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}\)

\(=\frac{3\cdot4+4\cdot\left(-3\right)}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}\cdot\sqrt{4^2+3^2}}=0\)

=>(d1)⊥(d2)

=>\(\hat{\left(d1\right);\left(d2\right)}=90^0\)

b: d1: \(\frac{x}{1}=\frac{y+2}{-2}\)

=>Vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}=\left(1;-2\right)\)

d2: \(\begin{cases}x=5+3t\\ y=1-t\end{cases}\)

=>Vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u_2}=\left(3;-1\right)\)

\(cos\left(d1;d2\right)=cos\left(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}\)

\(=\frac{1\cdot3-\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}\cdot\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{3-2}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}\)

=>\(\hat{\left(d1\right);\left(d2\right)}\) ≃82 độ

a)Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=4x+9\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{13}\\x=2-\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

Thế vào tìm y

b)Gọi \(d_1=ax+b\left(a\ne0\right)\)

Để d₁//d thì:\(\frac{4}{a}=\frac{9}{b}\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{9a}{4}\)

Pt hoành độ giao điểm giữa d_{1 và} (P) là:\(x^2=ax+\frac{9}{4}a\)

_{\(\Leftrightarrow x^2-ax-\frac{9}{4}a=0\)}

Để d₁ tiếp xúc với (P) thì phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow\Delta=a^2+9a=0\)

\(\Leftrightarrow a=-9\)(vì a\(\ne0\))\(\Rightarrow b=-\frac{81}{4}\)

\(\Rightarrow d_1=-9a-\frac{81}{4}\)

tại sao lại là 4/a=9/b mà ko phải là a=a'. b khác b'

a) Khi m =2 thì y = 3x - 1 

(Bạn tự vẽ tiếp)

b) Để \((d)//(d_{1})\) thì \(\begin{cases} 2m-1=-3\\ -3m+5\neq2 \end{cases} \) ⇔ \(\begin{cases} m=-1\\ m\neq1 \end{cases} \) ⇔ \(m=-1\)

c)

Để \((d) ⋂ (d1)\) thì \(2m-1\neq-3 \) ⇔ \(m\neq-1\)

Giao điểm của 2 đường thẳng thuộc trục tung => x=0

Khi đó, ta có: \(y=-3.0+2=2\)

⇒ Điểm \((0;2)\) cũng thuộc đường thẳng (d)

⇒ \(2=(2m-1).0-3m+5\) ⇔ \(m=1\) (TM)