a, \(y=2sin^2x-cos2x=1-2cos2x\)

Vì \(cos2x\in\left[-1;1\right]\Rightarrow y=2sin^2x-cos2x\in\left[-1;3\right]\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_{min}=-1\\y_{max}=3\end{matrix}\right.\)

\(y=sin^3x+2sin^2x+sinx-2\)

đặt \(t=sinx\) với \(t\in\left[-1;1\right]\)

 pt \(\Leftrightarrow\)\(y=t^3+2t^2+t-2\)

\(y'=3t^2+4t+1\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

vậy GTLN của y = 2 với t=1 \(\Leftrightarrow sinx=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

GTNN của y=-58/27  với \(t=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow sinx=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{3}\right)\)

Bài 1:

1: \(y=\frac{\sin x+2\cdot cosx+1}{2\cdot\sin x+cosx+3}\)

=>\(2y\cdot\sin x+y\cdot cosx+3y=\sin x+2\cdot cosx+1\)

=>\(\left(2y-1\right)\cdot\sin x+cosx\cdot\left(y-2\right)=1-3y\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\left(2y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2>=\left(1-3y\right)^2\)

=>\(4y^2-4y+1+y^2-4y+4\ge9y^2-6y+1\)

=>\(5y^2-8y+5-9y^2+6y-1\ge0\)

=>\(-4y^2-2y+4\ge0\)

=>\(y^2+\frac12y-1\le0\)

=>\(y^2+2\cdot y\cdot\frac14+\frac{1}{16}-\frac{17}{16}\le0\)

=>\(\left(y+\frac14\right)^2\le\frac{17}{16}\)

=>\(-\frac{\sqrt{17}}{4}\le y+\frac14\le\frac{\sqrt{17}}{4}\)

=>\(\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\le y\le\frac{\sqrt{17}-1}{4}\)

=>\(y_{\min}=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\) và \(y_{\max}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\)

2: \(y=2\cdot\sin^2x-3\cdot\sin x\cdot cosx+cos^2x\)

\(=2\cdot\frac{1-cos2x}{2}-3\cdot\frac12\cdot\sin2x+\frac{1+cos2x}{2}\)

\(=1-cos2x-\frac32\cdot\sin2x+\frac12+\frac12\cdot cos2x\)

\(=-\frac32\cdot\sin2x-\frac12\cdot cos2x+\frac32=-\frac12\left(3\cdot\sin2x+cos2x-3\right)\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\sin2x+\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot cos2x-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\left\lbrack\sin\left(2x+\alpha\right)-\frac{3}{\sqrt{10}}\right\rbrack\) , với \(cosa=\frac{3}{\sqrt{10}};\sin a=\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+\alpha\right)+\frac32\)

Ta có: \(-1\le\sin\left(2x+a\right)\le1\)

=>\(-1\cdot\frac{-\sqrt{10}}{2}\ge\frac{-\sqrt{10}}{2}\sin\left(2x+a\right)\ge1\cdot\frac{-\sqrt{10}}{2}\)

=>\(\frac{-\sqrt{10}}{2}\le\frac{-\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+a\right)\le\frac{\sqrt{10}}{2}\)

=>\(\frac{-\sqrt{10}}{2}+\frac32\le\frac{-\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+a\right)+\frac32\le\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac32\)

=>\(y_{\min}=\frac{-\sqrt{10}+3}{2};y_{\max}=\frac{\sqrt{10}+3}{2}\)

a.

\(y'=\dfrac{\left(1+\sqrt{3x-1}\right)'}{1+\sqrt{3x-1}}=\dfrac{3}{2\left(1+\sqrt{3x-1}\right)\sqrt{3x-1}}\)

b.

\(y'=\dfrac{\left(2sin^2x-1\right)'}{\left(2sin^2x-1\right).ln10}=\dfrac{2sin2x}{\left(2sin^2x-1\right)ln10}\)

c.

\(y'=\left(3x^2+3\right)3^{x^3+3x+1}.e^x.ln3+3^{x^3+3x+1}.e^x\)

Dạng này lâu quá quên cách làm rồi, thử vài cách xem cái nào tối ưu:

Sử dụng tam thức bậc 2:

Hàm xác định trên R khi:

\(2sin^2x-m.sinx+1>0;\forall x\in R\)

Đặt \(sinx=t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=2t^2-m.t+1>0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=m^2-8\)

TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)

Khi đó \(f\left(t\right)>0;\forall t\in R\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m}{4}\notin\left[-1;1\right]\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\) ko có m thỏa mãn

TH3:  \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\t_1< t_2< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8>0\\f\left(-1\right)=m+3>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{m}{4}< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\1< t_1< t_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8>0\\f\left(1\right)=3-m>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{m}{4}>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

Vậy \(-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)

- Sử dụng hẳng đẳng thức:

\(2sin^2x-m.sinx+1>0\)

\(\Leftrightarrow16sin^2x-8m.sinx+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4sinx-m\right)^2-m^2+8>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4sinx-m\right)^2>m^2-8\) (1)

TH1: \(m^2-8< 0\Rightarrow\) BPT luôn đúng

TH2: \(m^2-8\ge0\), khi đó (1) tương đương:

\(\left[{}\begin{matrix}4sinx-m>\sqrt{m^2-8}\\4sinx-m< -\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4sinx>m+\sqrt{m^2-8}\\4sinx< m-\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)

Do \(sinx\in\left[-1;1\right]\) nên điều này đúng vói mọi x khi và chỉ khi:

\(\left[{}\begin{matrix}-4>m+\sqrt{m^2-8}\\4< m-\sqrt{m^2-8}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1>\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{4}\\1< \dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{4}\end{matrix}\right.\)(2)

Giải 2 cái này ra là được.

À, đến đây phát hiện ra 1 điều, thực chất \(\dfrac{m\pm\sqrt{m^2-8}}{4}\) chính là 2 nghiệm \(t_1;t_2\) của pt

\(2t^2-mt+1=0\), và 2 BPT (2) kia cũng chính là \(\left[{}\begin{matrix}t_1< t_2< -1\\1< t_1< t_2\end{matrix}\right.\) của cách 1

Vậy về cơ bản 2 cách này giống nhau về phần lõi, chỉ khác về cách trình bày

\(y=1-cos2x+2sin2x+6=2sin2x-cos2x+7\)

\(y=\sqrt{5}\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}sin2x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}cos2x\right)+7\)

Đặt \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(y=\sqrt{5}sin\left(2x-a\right)+7\)

\(\Rightarrow-\sqrt{5}+7\le y\le\sqrt{5}+7\)

\(y=\left|2sin^2x-sinx-1\right|-2sinx\)

Đặt \(sinx=t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=\left|2t^2-t-1\right|-2t\)

BBT cho \(f\left(t\right)\) trên \(\left[-1;1\right]\):

Từ BBT ta thấy \(y_{max}=4\) khi \(sinx=-1\); \(y_{min}=-2\) khi \(sinx=1\)