a) Xét ΔOAM vuông tại A có 

\(\tan\widehat{AOM}=\dfrac{AM}{AO}=\sqrt{3}\cdot\dfrac{OA}{OA}=\sqrt{3}\)

hay \(\widehat{AOM}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AON}=60^0\)

Vậy: Số đo góc ở tâm tạo bởi 2 bán kính OA và ON là 60⁰

b) Xét (O) có

\(\stackrel\frown{AN}\) là cung chắn góc ở tâm \(\widehat{AON}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{AN}=60^0\)

Số đo cung lớn AN là: 

\(360^0-60^0=300^0\)

b) Do \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\) (theo câu a) => \(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOC}=\widehat{AOC}=90^o\) => \(\widehat{NOC}+\widehat{MOC}=\widehat{MON}=90^o\)

Xét ΔOMN và ΔOAC có: \(\widehat{MON}=\widehat{AOC}=90^o\)

                                         OA = OM (=bán kính nửa đường tròn)

                                          OC = ON (=bán kính nửa đường tròn)

=> ΔOMN = ΔOAC (c.g.c) => MN = AC (2 cạnh tương ứng)

CMTT => ΔOMN = ΔOBC => MN = BC (2 cạnh tương ứng)

=> MN = AC = BC

a) Xét (O) có

M là một điểm nằm trên cung \(\stackrel\frown{CA}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{CM}+sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{CA}\)(1)

Xét (O) có 

N là một điểm nằm trên cung \(\stackrel\frown{CB}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{NB}=sđ\stackrel\frown{CB}\)(2)

Xét (O) có AB là đường kính(gt)

nên O là trung điểm của AB

Xét ΔCAB có

CO là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(O là trung điểm của AB)

Do đó: ΔCAB cân tại C(Định lí tam giác cân)

⇒CA=CB

⇒\(sđ\stackrel\frown{CA}=sđ\stackrel\frown{CB}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(sđ\stackrel\frown{CM}+sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{NB}\)

mà \(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BN}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CN}\)

hay \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\)(đpcm)

Xét (O) có

AM là dây cung(A,M∈(O))

CN là dây cung(C,N∈(O))

\(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\)(cmt)

Do đó: AM=CN(Liên hệ giữa cung và dây)

Sửa đề: ΔAOB cân tại O

ΔOAB cân tại O

=>OA=OB

=>B nằm trên (O;OA)

sđ cung AC=40 độ

=>\(\hat{AOC}=40^0\)

TA có: \(\hat{AOC}+\hat{BOC}=\hat{AOB}\)

=>\(\hat{BOC}=110^0-40^0=70^0\)

=>sđ cung BC nhỏ=70 độ

Số đo cung BC lớn là:

360 độ-70 độ=290 độ

a:

OC⊥AB

=>\(\hat{COA}=\hat{COB}=90^0\)

=>sđ cung CA=sđ cung CB

=>CA=CB

Ta có: sđ cung AM+sđ cung CM=sđ cung CA

sđ cung CN+sđ cung NB=sđ cung CB

mà sđ cung CA=sđ cung CB(=90 độ) và sđ cung CM=sđ cung BN

nên sđ cung AM=sđ cung CN

=>AM=CN

b: Xét (O) có

MC,AN là các dây

sđ cung MA=sđ cung CN

Do đó: MC//AN

=>MCNA là hình thang

Ta có: \(\hat{CMA}+\hat{MAN}=180^0\) (hai góc trong cùng phía, CM//AN)

\(\hat{CMA}+\hat{CNA}=180^0\) (CMAN nội tiếp)

Do đó: \(\hat{MAN}=\hat{CNA}\)

=>MCNA là hình thang cân

=>MN=CA

mà CA=CB

nên MN=CA=CB

a: ΔOAD cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOD

=>\(\hat{AOM}=\hat{DOM}\)

=>sđ cung MA=sđ cung MD

=>M là điểm chính giữa của cung AD

TA có: sđ cung AC=2*sđ cung AB

=>sđ cung AB=sđ cung BC

Ta có: sđ cung AC+sđ cung CD=sđ cung AD

=>2*sđ cung AB+sđ cung CD=3*sđ cung AB

=>Sđ cung CD=sđ cung AB

Ta có: sđ cung AB+sđ cung BM=sđ cung AM

sđ cung CD+sđ cung CM=sđ cung MD

mà sđ cung AB=sđ cung CD và sđ AM=sđ cung MD

nên sđ cung BM=sđ cung CM

=>M là điểm chính giữa của cung BC

b: Vì M là điểm chính giữa của cung BC

nên OM⊥BC

OM⊥BC

OM⊥AD

Do đó: BC//AD
=>ABCD là hình thang

BC//AD

=>\(\hat{ABC}+\hat{BAD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

mà \(\hat{ABC}+\hat{ADC}=180^0\) (ABCD nội tiếp)

nên \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\)

=>ABCD là hình thang cân

Sửa đề: (O;R) và (O;R')

ΔOBC cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOE}=\hat{COE}\)

=>sđ cung EB=sđ cung EC

c, Do KC // AE 

\(\Rightarrow\)CM // AE

Ta có DF = DA = DE ( \(\Delta DAE.cân.ở.D\) )

\(\Rightarrow\Delta ADF\) cân ở D mà DC là đường cao ứng với đáy

\(\Rightarrow\) AC = CF

Mà CM // AE

\(\Rightarrow\) CM là đường TB 

\(\Rightarrow ME=MF\) 

\(\Delta AED\) cân ở D. BD là đường cao

 \(\Rightarrow\) BD là trung tuyến

\(\Rightarrow\) BA = BE

mà ME = MF

\(\Rightarrow\) BM là đường TB ứng vớ cạnh đáy AF

\(\Rightarrow\) BM // AF ; BM // AC

Vì \(\stackrel\frown{BA}=\stackrel\frown{BC}\Rightarrow BO\perp AC\) 

Mà BM // AC

\(\Rightarrow BO\perp BM\) 

\(\Rightarrow\) BM là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AD

:)  kinh dzạy

Tham khảo ha:

https://hoidap247.com/cau-hoi/522596

\(Ta.có:\\ Sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}+Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=360^0\\ mà.Sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}=2Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}\\ Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=Sđ\widehat{AOB}\\ nên.Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=120^0\\ Kẻ.OH\perp AB\Rightarrow\widehat{AOH}=60^0\\ \Rightarrow\Delta AOH.là.nửa.\Deltađều\\ \Rightarrow OH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}.và.AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\) 

\(Vì.OH\perp AB.nên.AB=2AH=2.\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\\ Vậy.S_{OAB}=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\)