a, Hoành độ giao điểm của d và P là:

x² = 2mx -m +1 <=> x² -2mx +m-1

đenta = 4m²-4.(m-1) = 4m²-4m+4 = (2m)²-2.2m +1 +3=(2m-1)²+3

=> đenta >= 3

Vậy không có giá trị m để P tiếp xúc với d

b,Áp dụng định lí Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m\\x1.x2=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: x1².x2 + mx2=x2

<=> x1².x2+mx2-x2=0 <=> x1².x2 + x2(m-1)=0

<=> x1².x2+x2(x1.x2)=0 <=>x1².x2+x2².x1=0

<=>x1.x2.(x1+x2)=0 <=> (m-1).2m=0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=0\end{matrix}\right.\)  

Vậy m \(\in\) \(\left\{1;0\right\}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

 Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Lời giải:
a. Để $(d)$ đi qua $A(1;0)$ thì:
$y_A=2x_A-m+3$

$\Leftrightarrow 0=2.1-m+3=5-m$

$\Leftrightarrow m=5$

b.

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x-m+3)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0(*)$

Để $(P), (d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi:

$\Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow 4-m>0\Leftrightarrow m< 4$

Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2$ và $x_1x_2=m-3$

Khi đó:
$x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12$

$\Leftrightarrow x_1^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=-12$

$\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=-12$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-12$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=-6$

$\Rightarrow x_1=-2; x_2=4$

$m-3=x_1x_2=(-2).4=-8$

$\Leftrightarrow m=-5$ (tm)

1: Thay x=2 và y=0 vào y=(m+1)x-m, ta được:

2(m+1)-m=0

=>2m+2-m=0

=>m+2=0

=>m=-2

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac12x^2=\left(m+1\right)x-m\)

=>\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)

\(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot2m\)

\(=4m^2+8m+4-8m=4m^2+4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m\end{cases}\)

Để \(\sqrt{x_1};\sqrt{x_2}\) tồn tại thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

=>2(m+1)>0 và 2m>0

=>m>0

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt2\)

=>\(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=2\)

=>\(2m+2+2\cdot\sqrt{2m}=2\)

=>\(2m+2\cdot\sqrt{2m}=0\)

=>\(m+\sqrt{2m}=0\)

=>\(\sqrt{m}\left(\sqrt{m}+2\right)=0\)

=>\(\sqrt{m}=0\)

=>m=0(loại)