a: H và I đối xứng nhau qua AB

nên AB vuông góc với HI tại trung điểm của HI

=>AB là phân giác của góc IAH(1)

H đối xứng K qua AC

nên AC vuông góc HK tại trung điểm của HK

=>AC là phân giác của góc HAK(2)

Từ (1), (2) suy ra góc IAK=2*90=180 độ

=>I,A,K thẳng hàng

b: 1/BH^2-1/AN^2=1/AB^2

=>(AN^2-BH^2)/(AN^2*BH^2)=1/AB^2

CA/AN=CH/HB

=>AN/CA=HB/HC=k

=>AN=k*CA; HB=k*HC

\(\dfrac{AN^2-BH^2}{AN^2\cdot BH^2}=\dfrac{k^2\cdot CA^2-k^2\cdot HC^2}{k^2\cdot CA\cdot HC}=\dfrac{CA^2-HC^2}{CA\cdot HC}=\dfrac{AH^2}{AC\cdot HC}=\dfrac{HB}{AC}\)

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{HB}{AC}\Leftrightarrow AB^2\cdot HB=AC\)

=>\(BH^2\cdot HC=AC\Leftrightarrow BH^2=\dfrac{AC}{HC}\)(vô lý)

=>Đề câu b sai nha bạn

a: I đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của IH

=>AI=AH và BI=BH

H đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của HK

=>AH=AK và CH=CK

Xét ΔAIB và ΔAHB có

AI=AH

BI=BH

AB chung

Do đó: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{IAB}=\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc IAH

=>\(\hat{IAH}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

CH=CK

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{KAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng

Ta có: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{AIB}=\hat{AHB}\)

=>\(\hat{AIB}=90^0\)

=>BI⊥IK

ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{AHC}=\hat{AKC}\)

=>\(\hat{AKC}=90^0\)

=>CK⊥IK

mà BI⊥IK

nên BI//CK

=>BIKC là hình thang

Ta có: AI=AH

AK=AH

Do đó: AI=AK

=>A là trung điểm của IK

Xét hình thang BIKC có

A,O lần lượt là trung điểm của IK,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BIKC

=>AO//BI//KC

=>AO⊥IK tại A

=>IK là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>\(\hat{ACB}=90^0\)

Xét tứ giác CEHF có \(\hat{CEH}=\hat{CFH}=\hat{ECF}=90^0\)

nên CEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{CFE}=\hat{CHE}\)

mà \(\hat{CHE}=\hat{CAB}\left(=90^0-\hat{HCE}\right)\)

nên \(\hat{CFE}=\hat{CAB}\)

Gọi Cx là tiếp tuyến tại C của (O)

=>CO⊥Cx tại C

Xét (O) có

\(\hat{xCB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây cung CB

\(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

Do đó: \(\hat{xCB}=\hat{CAB}\)

mà \(\hat{CAB}=\hat{CFE}\)

nên \(\hat{xCB}=\hat{CFE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nen Cx//FE

=>FE⊥OC

=>OC⊥MN

ΔOMN cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc MON

Xét ΔOMC và ΔONC có

OM=ON

\(\hat{MOC}=\hat{NOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOMC=ΔONC

=>CM=CN

a; Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\)

=>AO=10^2/8=100/8=12,5(cm)

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(R^2=12,5^2-10^2=7,5^2\)

=>R=7,5(cm)

cm dc: tam giac ACH dong dang voi tam giac DCB

=> DC/AC = CB/CH

=> DC= AC.CB/CH

MA CH= 2/3 IC =>CH^2 =4/9. IC^2 =4/9. AC.CB => THE VAO TINH DUOC DC THEO R =CAN5/4.R

=>DIEN TICH=CAN5/4. R^2

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó; ΔHDB vuông tại D

=>HD⊥AB tại D

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ADE}+\hat{BDE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BDE}+\hat{BCE}=180^0\)

=>BDEC là tứ giác nội tiếp

b: H đối xứng M qua AB

=>AB là đường trung trực của HM

=>AB⊥HM tại trung điểm của HM

mà AB⊥HD tại D

và HD,HM có điểm chung là H

nên H,D,M thẳng hàng

=>AB⊥HM tại D và D là trung điểm của HM

Ta có: H đối xứng N qua AC

=>AC là đường trung trực của HN

=>AC⊥HN tại trung điểm của HN

mà AC⊥HE tại E

và HN,HE có điểm chung là H

nên H,N,E thẳng hàng

=>AC⊥HN tại E và E là trung điểm của HN

Xét ΔADH vuông tại D và ΔADM vuông tại D có

AD chung

DH=DM

Do đó: ΔADH=ΔADM

=>AH=AM và \(\hat{DAH}=\hat{DAM}\)

=>AH=AM và AD là phân giác của góc HAM

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAEN vuông tại E có

AE chung

EH=EN

Do đó: ΔAEH=ΔAEN

=>AH=AN và \(\hat{EAH}=\hat{EAN}\)

=>AN=AH và AE là phân giác của góc HAN

\(\hat{MAN}=\hat{MAH}+\hat{NAH}\)

\(=2\left(\hat{DAH}+\hat{EAH}\right)=2\cdot\hat{DAE}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN(=AH)

nên A là trung điểm của MN

Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

\(\hat{HAB}=\hat{MAB}\)

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AMB}\)

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>BM⊥MN tại M

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

\(\hat{HAC}=\hat{NAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{AHC}=\hat{ANC}\)

=>\(\hat{ANC}=90^0\)

=>CN⊥NM

mà BM⊥MN

nên BM//CN

Xét hình thang BMNC có

A,O lần lượt là trung điểm của MN,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BMNC

=>AO//BM//CN

=>AO⊥MN tại A

=>MN là tiếp tuyến tại A của (O)